Un calcul d’extrema lié

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {n} dans \mathbb{N}^{*} et {\lambda} dans \mathbb{R}^{+*}.
On note {A_{\lambda}=\Big\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}.
Soit {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; (x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.

  1. Montrer que {f} a un seul extrémum local sur {A_{\lambda}} et que c’est un minimum local.

  2. Montrer que ce minimum local est en fait un minimum absolu.

  3. Montrer que {f} est minorée sur {A_{\lambda}}, et déterminer {{\mu}_{n}(\lambda) = \displaystyle\inf_{x\in A_{\lambda}}f(x)}.

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