Un calcul d'extrema lié

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit

{n}

dans

\mathbb{N}^{*}

{\lambda}

dans

\mathbb{R}^{+*}

.
On note

{A_{\lambda}=\Big\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}

.
Soit

{f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; (x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}

Montrer que ${f}$ a un seul extrémum local sur ${A_{\lambda}}$ et que c’est un minimum local.

Montrer que ${f}$ est minorée sur ${A_{\lambda}}$ , et déterminer ${{\mu}_{n}(\lambda) = \displaystyle\inf_{x\in A_{\lambda}}f(x)}$ .

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