Interversion série-intégrale

(Oral Centrale)
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}.

On suppose {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n=+\infty}. Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}}

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