Une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}.

On rappelle que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt\pi}{2}}

  1. Domaine et dérivabilité de {f}.
  2. Donner un équivalent de {f'} en {+\infty}.
  3. Développer {f} à deux termes en {+\infty}.

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