Forme linéaire, matrices semblables

(Oral Mines-Ponts 2015)
Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer qu’il existe {A} unique dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} telle que : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}2. On suppose que : {\begin{array}{l}\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{C}),\\\\\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)\end{array}}Montrer q’il existe {\lambda\in\mathbb{C}} tel que : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}
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