Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.

  1. Montrer : {\exists\,\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
  2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
  3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
    Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
    Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :