Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit {a_n} le coeff. de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
En particulier {a_0=a_1=1}.
Montrer que {f\!=\!\!\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} a un rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {\forall n\ge 2,\,na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}
(voir l’article “Coefficient trinomial central”)
Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.
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