Lancer de dés pipés

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
On considère un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
La probabilité d’obtenir la face {k} est notée {p_{k}}.
Soit {n} lancers consécutifs {(x_{1},\ldots,x_{n})}{x_{k}} est le résultat du {k}ième lancer.

  1. On note {N_{n,k}} le nombre d’apparitions de la face {k} dans la suite des {n} lancers.
    Que peut-on dire de {N_{n,k}} lorsque {n} tend vers l’infini ?
  2. On suppose que pour tout {k} la quantité {n\,p_{k}} est un entier naturel.
    Probabilité d’obtenir {(x_{1},\ldots,x_{n})} avec : {\forall\, k\in[\![1,6]\!],\;N_{n,k}=n\,p_{k}} ?

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