Involutions et séries entières

(Oral Centrale)
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]}.
Par convention, on pose {I_{0}=1}.

  1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}.
    Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^*,\;I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
  2. Montrer que {S\!=\!\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} a un rayon {R\!>\!0}
  3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)}. En déduire {S(x)} et {I_{n}}.

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