Convergence uniforme non normale

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2015)
On définit les fonctions x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n} converge uniformément sur \mathbb{R} mais pas normalement.
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