Un système différentiel

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {n} dans {\mathbb{N}^{*}} et {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}.
Pour {k\in[\![1,n]\!]}, soit {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)} la matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}, avec {1 \le k \le n}.

  1. Montrer que : {\forall t \,\in\mathbb{R},\;\det(X(t))\ne 0}.
  2. Établir une équation différentielle simple vérifiée par {\det(X)}.
  3. Donner {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.

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