Série et produit infini

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soient {x\in\,\mathbb{R}^{+*}} et, pour {n\in\,\mathbb{N}^{*}}, {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
On pose {v_n=\ln(u_{n+1})-\ln(u_n)}.

  1. Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
  2. Trouver {\alpha\in\mathbb{R}} tel que la série de terme général {v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)} converge.
  3. En déduire qu’il existe un réel {A > 0} tel que {u_{n}\sim An^{\alpha}} quand {n\to+\infty}.

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