Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient {n\in\,\mathbb{N}^*} et {p\in\{1,\ldots ,n\}}. Montrer que toute matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de rang 1 s’écrit comme différence de deux matrices de rang {p}. En déduire qu’il existe une base de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} formée de matrices de rang {p}.
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