Mot clef : Séries entières

Série de Taylor non suffisante

]On pose {f(x)=\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)} pour x\ne 0, et {f(0)=0}. Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}} et que {\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}, mais que f n’est pas développable en série entière

Série entière et série numérique

Rayon de convergence de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.