Mot clef : Probabilités

Tirage de boules impaires

Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On tire toutes les boules successivement et sans remise. Dans cet exercice on s’intéresse à des événements relatifs à l’apparition des boules de numéro impair dans le tirage.

Quand le nombre d’urnes est infini

Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?

Étude d’un temps d’attente

Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de l’événement X_1+\cdots+X_n\ge k. On étudie la loi de Y_k, on calcule son espérance et un équivalent de celle-ci.

Deux premiers succès consécutifs

Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}, on note p_n la probabilité d’obtenir à la date n, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}.

Déplacements dans Z2

Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.

Tir au laser sur une bactérie

Toutes les secondes à partir de {t = 1}s, on tire au rayon laser sur une bactérie.
Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}.
Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.

Un exercice très improbable

On suppose {X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)}, {X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)}, et Y(\Omega)\subset\{-1,1\}, avec {p=\mathbb{P}(Y=-1)}.
On suppose {X_{1},X_{2},Y} indépendantes. Soit {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Donner la probabilité pour que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}).

Des livres sur une étagère

On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}