Mot clef : Mpsi/Pcsi

Une base orthonormale de R[X]

Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.

Un produit scalaire?

Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?

Projecteurs de somme IdE

Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.

Petit lemme des noyaux

Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha,\beta} deux scalaires distincts. Montrer que:
{\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})}

Inégalités entre distances

Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que:
{\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|}

Quand le nombre d’urnes est infini

Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?