Mot clef : Mp/Pc/Psi

Réduction de M -> AMB

Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)

Diagonalisation et déterminant

Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}{m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres.
Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.

Diagonalisation et hyperplans stables

Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.

Matrices par blocs et semblables

Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}, {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.
Montrer que {A\sim B} si et seulement si {\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

Racine carrée de la dérivation?

Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.
Existe-t-il {u\in{\mathcal L}(E_1)} tel que : {\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}?
Existe-t-il {v\in{\mathcal L}(E)} tel que : {\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}?

Commutant d’un nilpotent

Soit {u \in{\mathcal L}(E)}, avec \dim(E)=n. On suppose {u^{n}=0} et {u^{n-1}\ne0}.
Déterminer les sous-espaces vectoriels de {E} stables par {u}.
Déterminer {\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}. Quelle est sa dimension?