Mot clef : Mp/Pc/Psi

Trace rationnelle

Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.

Diagonalisation et blocs

Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?

Un problème de minimisation

Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.

Endomorphismes tels que f2 = -Id

Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

Équation différentielle de Legendre

On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}.
2. Déterminer les solutions de {(E)} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.