Mot clef : Mp/Pc/Psi

Équivalents d’intégrales

Équivalents quand {n\rightarrow+\infty} de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos(t)}{1+n^{2}t^{2}}\,\text{d}t} et de {K_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-nt}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.

La fonction Gamma d’Euler

On introduit la fonction {x\mapsto \Gamma\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
On en étudie les principales propriétés (relation fonctionnelle, caractère \mathcal{C}^{\infty}).

Série de Taylor non suffisante

]On pose {f(x)=\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)} pour x\ne 0, et {f(0)=0}. Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}} et que {\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}, mais que f n’est pas développable en série entière

La constante d’Euler

Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma.
On voit également le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.