2018

Planches d’oral 2018

Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}. On note {x=f_{n}(y)}.
Tracer, pour différents {n}, les fonctions {y\mapsto f_{n}(y)}.
Montrer que {(f_n)_{n\ge1}} CVS sur {\mathbb{R}^+} vers {f} telle que : {\forall\,x\in\mathbb{R}^{+},\;0\le f(x)\lt 1}
Montrer que {\forall\,x\ge 0,\;f(x)=1-\text{e}^{-x}}.

Produits infinis

(Oral Centrale 2018)Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose, pour tout {n\in\mathbb{N}^{\star}}, {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.

Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
On pose, pour {t\geq 0} et {n\in\mathbb{N}} : {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}} et {\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}.
Étudier la convergence de la suite de fonctions {(f_{n})}.
Soit {\alpha >0}. Montrer : {\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}.
Déterminer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)} si {\alpha>e-1}, puis si {\alpha\lt e-1}.

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ lorsque\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}.
Montrer qu’on a toujours {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Déterminer le rang, la trace et le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes.
Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.