Diagonalisation effective

Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.