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Matrice unipotente

Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que {M^{p}=I_{n}} si et seulement si {\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

Matrices par blocs et semblables

Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}, {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.
Montrer que {A\sim B} si et seulement si {\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}