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Une base de Kn[X]

Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.

Une factorisation

Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.