(Oral Mines-Ponts 2018)
-
Montrer que {g:x\mapsto \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack}.
-
Soit {f(x)= \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}.
Montrer que est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {f(x)\leq x^{2}} sur {\mathbb{R}}. Calculer {f'(0)}.
-
Montrer que, sur {\mathbb{R}^{+*}}, {f} vérifie {y''-y=\dfrac{\pi}{2}-x\displaystyle\int_{0}^{+\infty}g(t)\,\text{d}t}
-
En déduire {f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :