(Oral X-Cachan Psi) On se donne {n\ge 3}, et {h = \dfrac{1}{n}}. Dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on définit :{A=\dfrac{1}{h}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&\cdots&0\\-1&1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&-1&1&0\\0&\cdots&0&-1&1\end{pmatrix}}On pose également : {B=\dfrac{1}{h^{2}}\begin{pmatrix}-2&1&0&\cdots&0\\1&-2&1&\ddots&\vdots\\0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&-2&1\\0&\cdots&0&1&-1\end{pmatrix}}Dans {\mathbb{R}^{n}}, soit {\left({x}\mid{y}\right) = h\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}}. On note {\left\|\cdot\right\|} la norme associée. Soit {v\in\mathbb{R}^{n}} et {f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}} définie par : {f(x)=\dfrac{1}{2}\left\|{Ax}\right\|^{2}-\left({v}\mid{x}\right)}On se propose de montrer que {f} a un minimum.
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