Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Soit quatre cases numérotées de {1} à {4}. À l’étape {n=0}, un jeton est placé sur la case {1}. Si à l’étape {n}, le jeton se trouve sur une case {k\in\{2,3,4\}}, il est déplacé en {k-1}; sinon, on le place au hasard sur l’une des cases {2,3,4}. On note {X_{n}} la variable aléatoire donnant la position du jeton à la date {n} et {U_{n}} le vecteur colonne de coefficients {P(X_{n}=i)} pour {1\leq i\leq 4}.

  1. Avec Python, écrire une fonction d’argument {n} et renvoyant les positions successives d’une réalisation de cette expérience, et tracer ces positions pour {n=10}, {n=50} et {n=100}. Conjecture ?
  2. Montrer : {\exists\, A\in\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R}),\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;U_{n+1}=AU_{n}}.
  3. Diagonaliser {A}; en déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_{n}}.
  4. Pour {1\le i\le 4} et {n\in\mathbb{N}}, on note {Y_{n}(i)=\text{card}\{k\leq n,X_{k}=i\}}.
    Chercher expérimentalement la loi de {Y_{n}(i)}.

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