Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Dans tout l’énoncé, {n} désigne un entier naturel fixé.

Pour tout {a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}}, soit {P_{a}\in\mathbb{R}_{n}[X]} défini par : {\forall\, k\in[[ 0,n]],\;P(k)=a_{k}}On note {\mathbb{Z}[X]} l’ensemble des polynômes à coefficients dans {\mathbb{Z}}.

La suite de l’exercice répond à la question suivante:

Soit {a=(a_{0},a_{2},\ldots,a_{n})\in\mathbb{Z}^{n+1}}: à quelle condition {P_{a}} est-il dans {\mathbb{Z}[X]}?

On note {\mathcal{A}_{n+1}} l’ensemble des {a\in\mathbb{Z}^{n+1}} qui ont cette propriété.

On considèrera des matrices carrées d’ordre {n+1}.

Le terme général d’une telle matrice {M} est noté {m_{i,j}}, avec {i,j} dans {[[ 0,n]]}.

Pour {i\in[[ 0,n]]}, soit {L_{i}(X)=\displaystyle\prod_{{k=0\atop k\ne i}}^{n}\dfrac{X-k}{i-k}} et {H_{i}=\displaystyle\prod_{k=0}^{i-1}(X-k)}.

Soit {T\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}, triangulaire supérieure, avec {t_{i,j}=\displaystyle\binom{j}{i}} si {j\ge i}.

  1. Montrer que {U=T^{-1}} a pour coefficients :{u_{i,j}=(-1)^{j-i}t_{i,j}\;\text{si}\;j\ge i,\ \text{et}\ u_{i,j}=0\;\text{si}\;j\lt i}
    • Écrire la matrice de passage {B} de {(L_{i})_{0\le i\le n}} à {(H_{j})_{0\le j\le n}}.
    • Déterminer {\Delta} diagonale telle que {B=T^{\top}\,\Delta}.
    • Montrer que {C=B^{-1}} est triangulaire inférieure,.

      Montrer que {c_{i,j}=\dfrac{(-1)^{i-j}}{j!\,(i-j)!}} si {0\le j\le i}.

  2. Soit {a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{Z}^{n+1}}.
    On définit {b=(b_{0},b_{1},\ldots,b_{n})} par : {b_{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{i}\dfrac{(-1)^{i-j}}{j!\,(i-j)!}\,a_{j}}
    Déduire de ce qui précède : {a\in\mathcal{A}_{n+1}\iff b\in\mathbb{Z}^{n+1}}.

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  1. {T} est la matrice (dans {1,X,\ldots,X^n}) de {P\mapsto P(X+1)} de {\mathbb{R}_{n}[X]}.

    L’isomorphisme inverse, de matrice {U=T^{-1}}, est {P\mapsto P(X-1)}.

    Ainsi {U}, triangulaire supérieure, vérifie : {u_{i,j}=(-1)^{j-i}\,t_{i,j}} pour {0\le i\le j\le n}.

    • Si {0\le i\lt j}, on a {H_{j}(i)=0}.

      Si {j\le i\le n}, alors {H_{j}(i)=\displaystyle\prod_{k=0}^{j-1}(i-k)=\dfrac{i!}{(i-j)!}}.

      Ainsi : {\forall\, j\in\{0,\ldots,n\},\;H_{j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}H_{j}(i)L_{i}=\displaystyle\sum_{i=j}^{n}\dfrac{i!}{(i-j)!}L_{i}}.

      Donc {B} est triangulaire inférieure et {b_{i,j}=\dfrac{i!}{(i-j)!}} si {0\le j\le i\le n}.

    • On peut écrire {b_{i,j}=j!\displaystyle\binom{i}{j}=j!\,t_{j,i}}.

      Ainsi la {j}-ème colonne de {B} est le produit de celle de {T^{\top}} par {j!}

      Autrement dit, {B=T^{\top}\,\Delta}, où {\Delta=\text{diag}(0!,\,1!,\,\ldots,\,n!)}.

    • On a {C=B^{-1}=\Delta^{-1}\,(T^{\top})^{-1}=\Delta^{-1}\,({U}^{\top})}{\Delta^{-1}=\text{diag}\Bigl(\dfrac1{0!},\,\dfrac1{1!},\,,\ldots,\dfrac1{n!}\Bigr)}.

      Bien sûr {C} est triangulaire inférieure.

      Ainsi, pour {0\le j\le i\le n} : {c_{i,j}=\dfrac{1}{i!}\,u_{j,i}=\dfrac{(-1)^{i-j}}{i!}\displaystyle\binom{i}{j}=\dfrac{(-1)^{i-j}}{j!\,(i-j)!}}.

  2. On sait que {P_{a}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}L_{k}} est le seul polynôme de {\mathbb{R}_{n}[X]} tel que : {\forall k\in\{0,\ldots,n\},\;P_{a}(k)=a_{k}}Or {P_{a}} s’écrit aussi {P_{a}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}H_{k}\ (\star)}, avec {b=(b_{0},b_{1},\ldots,b_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}}.

    Le vecteur {[b]} des coordonnées de {P_{a}} dans la base {(H)} s’exprime en fonction du vecteur {[a]} des coordonnées de {P_{a}} dans {(L)} au moyen de la matrice {C} de passage de {(H)} à {(L)}.

    Plus précisément {[b]=C[a]}, c’est-à-dire : {\forall\, i\in\{0,\ldots,n\},\; b_{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{i}\dfrac{(-1)^{i-j}}{j!\,(i-j)!}\,a_{j}}Il reste à établir l’équivalence : {P_{a}\in\mathbb{Z}_{n}[X]\Leftrightarrow b\in\mathbb{Z}^n}.

    • dans le sens {\Leftarrow} c’est évident, grâce à {(\star)}, et au fait que les {H_{k}\in\mathbb{Z}_{n}[X]}.
    • dans le sens {\Rightarrow} c’est facile, car {b_{n}\in\mathbb{Z}} (en tant que coefficient dominant): on soustrait ensuite {b_{n}H_{n}} et on termine par une récurrence descendante sur le degré.

    On a donc prouvé l’équivalence {a\in \mathcal{A}_{n+1}\Leftrightarrow b\in\mathbb{Z}^{n+1}}.