Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
On pose {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}.

  1. Étudier la définition, la continuité, et la dérivabilité de {f}.
  2. Montrer que : {\forall\, x\ge0,\;f(x)=\displaystyle\int_0^x \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u}.
    Donner un équivalent de {f} en {0}.
  3. Donner deux méthodes de calcul de {I=\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\ln(u)}{u^2-1}\,\text{d}u}.

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  1. Pour tout {x} réel, la fonction {t\mapsto\arctan(x\tan(t))} est continue sur {\Bigl]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Bigr[}.

    Cette même fonction prolongeable par continuité en {\pm\dfrac{\pi}{2}}.

    Ainsi {f} est donc définie sur {\mathbb{R}}. Elle est impaire et (sans problème) continue.

    Pour la dérivabilité, on travaille sur {[a,+\infty[} avec {a>0}.

    On peut ainsi dominer la dérivée partielle uniformément par rapport à {x}.

    fonction La {f} est donc dérivable sur {\mathbb{R}^*} et : {\forall\, x\ne0,\;f'(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\tan(t)\,\text{d}t}{1+x^2 \tan(t)^2}}

    • Avec {x>0}, on pose {u=x \tan(t)}. On a alors : {f'(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\tan(t)\,\text{d}t}{1+x^2 \tan(t)^2}=\dfrac{\ln(x)}{x^{2}-1}}Il n’y a pas de problème en {1}, car cette fonction se prolonge par continuité.

      Il y a intégrabilité en {0}, et comme {f(0)=0} on a : {\forall\, x\ge0,\;f(x)=\displaystyle\int_0^x \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u}

    • On procède par intégration des relations de comparaison.

      On a {\dfrac{\ln u}{u^2-1}\stackrel{u\to0}{\sim} - \ln (u)} et les intégrales divergent.

      On en déduit : {f(x)\stackrel{x\to0}{\sim}-\displaystyle\int_0^x \ln(u)\,\text{d}u\stackrel{x\to0}{\sim}-x\ln(x)}.

    • L’existence de {I} est facile et on a {I=\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)}.

      Posons {f_{\lambda}(t)=\arctan(\lambda \tan(t))}.

      Pour {t\in\Big]0,\dfrac{\pi}2\Big[}, on a {\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}f_\lambda(t)=\dfrac{\pi}2}, et les {f_{\lambda}} sont dominées par {\dfrac{\pi}2}.

      Par extension du théorème de convergence dominée, on a : {\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\dfrac{\pi^2}4=I}

    • On va retrouver {I} à partir de {\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{\ln(u)}{u^2-1}\,\text{d}u} avec un développement en série entière.

      Sur {]0,1[}, on a {\dfrac {\ln(u)}{1-u^2}=\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty} u^{2n} \ln(u)}.

      Par intégration par parties, {\displaystyle\int_0^{1} u^{2n} \ln(u)\,\text{d}u = -\dfrac 1{(2n+1)^2}}.

      Cette série converge donc on peut intervertir. Ainsi : {\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{\ln u}{1-u^2}\,\text{d}u = - \displaystyle\sum_{n= 0}^{+\infty} \dfrac 1{(2n+1)^2}}

      Cette somme vaut classiquement {\dfrac{\pi^2}{8}}. Ainsi : {\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u=\dfrac{\pi^2}{8}}.

      Enfin, le changement de variable {u=\dfrac 1t} montre que : {\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u=\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u}On retrouve donc: {\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u=\dfrac{\pi^2}{4}}.