Développement d’Euler de cotan(π x)

(Oral Centrale Mp)
Sur {\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}}, on pose {S_{N}(x)=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{1}{x+n}}

Pour {N\ge1} on a bien sûr {S_{N}(x)=\dfrac{1}{x}+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}u_{n}(x)}, où {u_{n}(x)=\dfrac{2x}{x^2-n^2}}.

    • Montrer que la suite {(S_{N})_{N\ge0}} est simplement convergente sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

      On note {S} la fonction limite, qui est donc définie sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

    • Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}(x)} est normalement convergente sur tout borné de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.
    • Montrer que {S} est continue , impaire et {1}-périodique.
    • Montrer que, pour tout {x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} et tout {N\in\mathbb{N}} : {S_{N}\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)+S_{N}\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)=2S_{2N}(x)+\dfrac{2}{x+2N+1}}
    • En déduire que : {\forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z},\;S\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)+S\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)=2S(x)}.
  1. On rappelle que la fonction {\text{cotan}} est définie sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} par {\text{cotan} x=\dfrac{\cos x}{\sin x}}.

    On pose {f(x)=\pi\text{cotan}(\pi x)-S(x)}, pour tout {x} de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

    • Vérifier que {f} possède les propriétés de {S} évoquées dans la question (1c).

      Montrer que {f} satisfait à l’égalité fonctionnelle vue dans la question (2b).

    • Montrer que {f} est prolongeable par continuité en {0}, puis sur {\mathbb{R}} tout entier.

      On note encore {f} ce prolongement sur {\mathbb{R}}.

    • Justifier l’existence d’un réel {a} de {]0,1[} tel que {f(a)=M=\max\limits_{x\in\mathbb{R}}\left|{f(x)}\right|}.
    • Montrer que {f\Bigl(\dfrac{a}{2}\Bigr)=M}.

    • En déduire que {f} est identiquement nulle sur {\mathbb{R}}.
  2. Conclusion de l’exercice?

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    • {(S_{n})_{n\ge0}} a même nature que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}(x)}, qui est bien sûr convergente sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

    • Pour {\left|x\right|\lt A} et {n\ge 2A} (donc {n^2\ge 4x^2}), on a : {n^2-x^2\ge \dfrac{3n^2}{4}}.

      Ainsi : {\Bigl|\dfrac{2x}{x^2-n^2}\Big|\le\dfrac{8A}{3n^2}} donc la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}(x)} est CVN sur tout borné.

      Sa somme {S} est donc continue (et est impaire) sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

      On remarque que : {\begin{array}{rl}S_{N}(x+1)&=\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{1}{x+1+n}=\displaystyle\sum_{n=-N+1}^{n=N+1}\dfrac{1}{x+n}\\\\&=S_{N}(x)+\dfrac{1}{x+N+1}-\dfrac{1}{x-N}\end{array}}Quand {N\to+\infty} et on trouve {S(x+1)=S(x)}, pour tout {x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

    • Pour tout {x} de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}, on trouve :
      {\begin{array}{rl}S_{N}\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)+S_{N}\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)&=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{1}{x/2+n}+\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{1}{(x+1)/2+n}\\\\&=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{2}{x+2n}+\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{2}{x+2n+1}\\\\&=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-2N}^{n=2N}\dfrac{2}{x+n}+\dfrac{2}{x+2N+1}\\\\&=2S_{2N}(x)+\dfrac{2}{x+2N+1}\end{array}}
    • Le résultat est immédiat quand {N\to+\infty} dans l’égalité précédente.
    • Les fonctions {\begin{cases}x\mapsto\pi\text{cotan}(\pi x)\\x\mapsto S(x)\end{cases}} sont continues, {1}-périodiques, impaires sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

      Il en est donc ainsi de leur différence {x\mapsto f(x)=\pi\text{cotan}(\pi x)-S(x)}

      De même, la fonction {x\mapsto g(x)=\text{cotan}(\pi x)} vérifie, pour tout {x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} : {\begin{array}{rl}g\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)+g\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)&=\text{cotan}\Bigl(\dfrac{\pi x}{2}\Bigr)-\tan\Bigl(\dfrac{\pi x}{2}\Bigr)\\\\&=\dfrac{2\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}=2 g(x)\end{array}}Par combinaison linéaire, {f} vérifie donc aussi cette égalité fonctionnelle.

    • On a : {\forall\, x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z},\;f(x)=\pi\text{cotan}(\pi x)-\dfrac{1}{x}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{n^2-x^2}}.

      D’autre part, {\pi\text{cotan}tan(\pi x)-\dfrac{1}{x}=\text{O}\Bigl(\dfrac1x\Bigr)}.

      De même, si {\left|x\right|\le\dfrac12} et {n\ge 1}, alors : {n^2-x^2\ge \dfrac{3}{4}n^2\text{\ donc\ }\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{n^2-x^2}\le\displaystyle\dfrac{8x}{3}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}}Ainsi {\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0}, donc (périodicité) {\displaystyle\lim_{x\to k}f(x)=0} pour tout {k} de {\mathbb{Z}}.

    • L’application {\left|f\right|} est continue sur {[0,1]} dont atteint son maximum en un point {a}.

      Puisque {\left|f(0)\right|=\left|f(1)\right|=0}, on peut toujours choisir {a} dans {]0,1[}.

      Par {1}-périodicité, {\left|f(a)\right|} est évidemment le maximum de {\left|f\right|} sur {\mathbb{R}}.

    • On a {2f(a)=f\Bigl(\dfrac{a}{2}\Bigr)+f\Bigl(\dfrac{a+1}{2}\Bigr)} donc {2M\le \left|{f\Bigl(\dfrac{a}{2}\Bigr)}\right|+\left|{f\Bigl(\dfrac{a+1}{2}\Bigr)}\right|}.

      Mais {\left|{f\Bigl(\dfrac{a}{2}\Bigr)}\right|\le M} et {\left|{f\Bigl(\dfrac{a+1}{2}\Bigr)}\right|\le M}.

      On a donc nécessairement deux égalités.

    • Par récurrence, on trouve {\left|{f\Bigl(\dfrac{a}{2^n}\Bigr)}\right|=M} pour tout {n}.

      Il en découle {\left|f(0)\right|=M} (continuité en {0}).

      Or {f(0)=0}. Ainsi {f} est identiquement nulle sur {\mathbb{R}}.

  1. En conclusion, on a obtenu le développement (dû à Euler), pour tout {x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} : {S(x)=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{1}{x+n}=\dfrac{1}{x}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{x^2-n^2}=\pi\text{cotan}(\pi x)}