Trace d’une matrice carrée

Exercice 1.
Montrer que l’égalité {AB-BA=I} est impossible dans {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}.
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On utilise la linéarité de la trace, et le fait que {\text{tr}\,(AB)=\text{tr}\,(BA)}.

Pour toutes matrices {A,B} de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, on a donc : {\text{tr}\,(AB-BA)=\text{tr}\,(AB)-\text{tr}\,(BA)=0}Mais {\text{tr}\,(I_n)=n\ge1}: l’égalité {AB-BA=I_n} est donc impossible.

Exercice 2.
Soient {A} et {B} deux matrices de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}.
On suppose que pour tout {M} de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}, on a {\text{tr}(AM)=\text{tr}(BM)}.
Montrer que les matrices {A} et {B} sont égales.
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On note {E_{r,s}} les matrices de la base canonique de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}.

Pour tous {r,s} dans {\{1,\ldots,n\}}, on a donc {\text{tr}(AE_{r,s})=\text{tr}(BE_{r,s})}.

Notons {a_{i,j}} et {b_{i,j}} les coefficients de {A} et {B}.

Le coefficient d’indice {(i,i)} de {AE_{r,s}} est égal à : {\displaystyle\sum_{j=1}^n[A]_{i,j}[E_{r,s}]_{j,i}=\displaystyle\sum_{j=1}^na_{i,j}\delta_{r,j}\delta_{s,i}=a_{i,r}\delta_{s,i}}On en déduit {\text{tr}(AE_{r,s})=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{i,i}=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{i,r}\delta_{s,i}=a_{s,r}}.

Ainsi l’égalité {\text{tr}(AE_{r,s})=\text{tr}(BE_{r,s})} donne {a_{s,r}=b_{s,r}}.

Cette égalité étant vraie pour tous {r,s}, on en déduit {A=B}.

Exercice 3.
Soit {f} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que : {\exists\,!\,A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\;\forall\,X\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\;f(X)=\text{tr}(AX)\quad(\star)}
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On note {E_{r,s}} les matrices de la base canonique de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}.

Soit {A=(a_{i,j})} un élément de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

La propriété (\star) équivaut à : \forall(r,s)\in[[1,n]]^2,\;f(E_{r,s})=\text{tr}(AE_{r,s}).

Or on a toujours {\text{tr}(AE_{r,s})=a_{s,r}} (voir exercice 2).

Il y a donc un unique {A=(a_{i,j})} tel que : {\forall\, X\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\;f(X)=\text{tr}(AX)}.

Cette matrice {A} est définie par {a_{i,j}=f(E_{j,i})} pour tous i,j.