Image, noyau, rang (3/3)

Exercice 1.
Soient {E,F} deux espaces vectoriels de dimensions respectives {n,p}.
Soit {f\in\mathcal{L}(E,F)}, de rang {r}. Soit {{\mathcal G}=\{g\in{\mathcal L}(F,E),f\circ g\circ f=0\}}.
Montrer que {{\mathcal G}} est un sous-espace vectoriel de {{\mathcal L}(F,E)} et en donner la dimension.
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Exercice 2.
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
On suppose que {AB=0} est nulle et que {A+B} est inversible.
Montrer que {\text{rg}\,A+\text{rg}\,B=n}.
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Exercice 3.

  1. Soit {X} une matrice-colonne à coefficients réels.
    Montrer que {{X}^{\top}X=0\Leftrightarrow X=0}.
  2. Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{rg}(A)=\text{rg}\bigl({A}^{\top} A\bigr)=\text{rg}\bigl(A{A}^{\top}\bigr)}.
  3. Montrer que cela cesse d’être vrai dans {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}.

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Exercice 4.
Soit {n\in\mathbb{N}^*}. Pour {0\le r\le n}, soit {J_n\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont le coefficient d’indice {(i,j)} est {1} si {i=j\le r} et {0} sinon. En particulier, {J_n(0)=0} et {J_n(n)=\text{I}_n}. Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

  1. Montrer que {\text{rg} A=r\Leftrightarrow\exists P,Q} inversibles telles que {Q^{-1}AP=J_r}.
  2. En déduire que {A} et {{A}^{\top}} ont le même rang.
  3. Montrer que {A} est la somme de deux matrices inversibles.

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Exercice 5.
Soit {E} le sous-espace de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} formé des matrices antisymétriques.
Soit {A} une matrice fixée dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

  1. Rappeler quelle est la dimension de {E} et en donner une base simple.
  2. On définit {f} sur {E} par {f(M)={A}^{\top}\,M+MA}.
    Montrer que {f\in\mathcal{L}(E)}. Calculer {\text{tr} f} en fonction de {\text{tr} A}.

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