Matrices et applications linéaires

Exercice 1.
Donner la matrice {A} dans la base canonique {(e_1,e_2,e_3)} de l’endomorphisme {f} de {\mathbb{R}^3} sachant que {(1,2,-1)\in\text{Ker} f}, que {f(e_1)=(2,1,1)} et {f(e_2)=(3,0,-1)}.
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Exercice 2.
Déterminer relativement aux bases canoniques la matrice {A} de l’application linéaire {f} de {\mathbb{R}^2} vers {\mathbb{R}^3} définie par {f(1,-1)=(-1,-2,5)} et {f(2,-3)=(0,5,4)}.
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Exercice 3.
Caractériser {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} de matrice {A=\dfrac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\cr-1&2&-1\cr -1&-1&2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
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Exercice 4.
Dans {\mathbb{R}^3}, soient {(\Pi)} le plan {x+2y+3z=0} et {(D)} la droite {\begin{cases}x=3z\cr y=2z\end{cases}}
Déterminer la matrice {A} de la projection sur {(\Pi)} parallèlement à {(D)}.
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Exercice 5.
Calculer l’inverse et les puissances de {A=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\cr0&1&2&3&4\cr0&0&1&3&6\cr0&0&0&1&4\cr 0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.
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