Image, noyau, rang (2/3)

Exercice 1.
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^4)}, de matrice {A=\begin{pmatrix}2&1&3&-1\cr3&-1&2&0\cr1&3&4&-2\cr4&-3&1&1\end{pmatrix}} dans la base canonique.

  1. Former un système d’équations, et une base, de {\text{Im} f}.
  2. Former un système d’équations, et une base de {\text{Ker} f}.
  3. image directe et réciproque du sous-espace d’équation {x-y+z-2t=0}.

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Exercice 2.
On se donne {(\alpha,\beta,\gamma)\ne0} dans {\mathbb{R}^3}.

Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)}, de matrice {A=\begin{pmatrix}\alpha^2&\alpha\beta&\alpha\gamma\cr\alpha\beta&\beta^2&\beta\gamma\cr\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2\end{pmatrix}} dans la base canonique.

Trouver le rang de {f}, son image, son noyau. Calculer {A^n} pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}.

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Exercice 3.
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)} de matrice {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&4\cr1&1&-1&1\cr-1&1&3&1\cr1&2&1&3\end{array}\right)} dans la base canonique.

  1. Donner une base du noyau de {f}. Quel est le rang de {f}?
  2. Donner une équation cartésienne de l’image de {f}.

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