Changements de base (2/2)

Exercice 1.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim E=n\ge1}, {f^n=0} et {f^{n-1}\ne0}.
Montrer que dans une base de {E} la matrice de {f} est {A=\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots&0\cr0&0&1&\ddots&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\cr\vdots&\ldots&\ldots&0&1\cr0&\ldots&\ldots&0&0\end{pmatrix}}
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Exercice 2.
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^4)} de matrice {A=\begin{pmatrix}0&1&5&9\cr2&1&6&8\cr0&0&0&3\cr0&0&1&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.

Montrer que {\begin{cases}\varepsilon_1=(-13,-37,3,1)\\\varepsilon_2=(1,-1,0,0)\\\varepsilon_3=(1,2,0,0)\\\varepsilon_4=(-7,1,-5,5)\end{cases}} forment une base de {\mathbb{R}^4}.

Montrer que la matrice de {f} dans {(\varepsilon)} est diagonale.

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Exercice 3.
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^4)} de matrice {A=\begin{pmatrix}-1&-4&-2&-2\cr-4&-1&-2&-2\cr2&2&1&4\cr2&2&4&1\end{pmatrix}} dans la base canonique.

Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^4} dans laquelle la matrice de {f} est diagonale.

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Exercice 4.
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^4)} de matrice {A=\begin{pmatrix}3&-1&1\cr2&0&1\cr1&-1&2\end{pmatrix}} dans la base canonique.

Montrer que {\varepsilon_1=(0,1,1)}, {\varepsilon_2=(1,1,0)}, {\varepsilon_3=(1,1,1)} forment une base de {\mathbb{R}^3}.

Former la matrice A de {f} dans {(\varepsilon)}. En déduire {A^n}.

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Exercice 5.
Montrer que {B=\begin{pmatrix}1&1&0&0\cr0&1&1&0\cr0&0&1&1\cr0&0&0&1\end{pmatrix}} et {A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\cr0&1&2&3\cr0&0&1&2\cr0&0&0&1\end{pmatrix}} sont semblables.
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