Changements de base (1/2)

Exercice 1.
Soit {f} linéaire de {E} muni de {(e)=(e_1,e_2,e_3)}, vers {F} muni de {(\varepsilon)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}.
Soit {A=\begin{pmatrix}2&-1&1\cr3&2&-3\end{pmatrix}} la matrice de {f} dans les bases {(e)} et {(\varepsilon)}.

  1. Déterminer la matrice {B} de {f} quand on remplace {(e)} par {\begin{cases}e'_1=e_2+e_3\\e'_2=e_3+e_1\\e'_3=e_1+e_2\end{cases}}
  2. On garde {(e')} mais on remplace {(\varepsilon)} par {\begin{cases}\varepsilon'_1=2\varepsilon_1+\varepsilon_2\\\varepsilon'_2=5\varepsilon_1+3\varepsilon_2\end{cases}}
    Déterminer la matrice {C} de {f} dans {(e')} et {(\varepsilon')}.

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  1. La matrice de passage de {(e)} vers {(e')} est {P=\begin{pmatrix}0&1&1\cr 1&0&1\cr 1&1&0\end{pmatrix}}.

    On en déduit {B=AP=\begin{pmatrix}0&3&1\cr-1&0&5\end{pmatrix}}.

  2. La matrice de passage de {(\varepsilon)} vers {(\varepsilon')} est {Q=\begin{pmatrix}2&5\cr 1&3\end{pmatrix}}.

    Elle est inversible (donc {(\varepsilon')} est une base de {F}) et {Q^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\cr -1&2\end{pmatrix}}.

    On en déduit {C=Q^{-1}B=\begin{pmatrix}5&9&-22\cr-2&-3&9\end{pmatrix}}.

Exercice 2.
Montrer que {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\cr-3&-3&3\cr -2&-2&2\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}0&1&0\cr0&0&0\cr0&0&0\end{pmatrix}} sont semblables.
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Soit {f} l’endomorphisme de {\mathbb{R}^3} de matrice {A} dans la base canonique.

Il faut trouver une base {(\varepsilon)} de {\mathbb{R}^3} où la matrice de {f} est {B}.

Cela revient à trouver {\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} libres tels que {\begin{cases}f(\varepsilon_1)=f(\varepsilon_3)=0\cr f(\varepsilon_2)=\varepsilon_1\end{cases}}

On voit que {A} (donc {f}) est de rang {1} (trois colonnes proportionnelles deux à deux).

On doit prendre {\varepsilon_1} dans {\text{Im} f}.

On choisit par exemple {\varepsilon_1=f(e_1)=(1,-3,-2)}.

On a ensuite les équivalences : {\begin{array}{rl}u(x,y,z)\in\text{Ker} f&\Leftrightarrow x+y-z=0\\\\&\Leftrightarrow(x,y,z)=x(1,0,1)+y(0,1,1)\end{array}}Avec {\begin{cases}\varepsilon_1=(1,-3,-2)\cr\varepsilon_2=e_1=(1,0,0)\cr\varepsilon_3=(1,0,1)\end{cases}} on a bien {\begin{cases}f(\varepsilon_1)=f(\varepsilon_3)=0\cr f(\varepsilon_2)=\varepsilon_1\end{cases}}

Les vecteurs {\varepsilon_1,\varepsilon_3} forment une base de {\text{Ker} f}, et {\varepsilon_2\notin\text{Ker} f}.

La famille {\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} est donc une base de {\mathbb{R}^3}, dans laquelle la matrice de {f} est {B}.

Ainsi les matrices {A,B} sont semblables. Plus précisément,

{B=P^{-1}AP}{P=\begin{pmatrix}1&1&1\cr-3&0&0\cr-2&0&1\end{pmatrix}} est la matrice de passage de {(e)} à {(\varepsilon)}.

Exercice 3.
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^2)} de matrice {A=\begin{pmatrix}-1&2i\cr-2i&2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Montrer que {\varepsilon_1=(i,2)}, {\varepsilon_2=(-2i,1)} forment une base de {\mathbb{R}^2}.
Montrer que la matrice de {f} dans {(\varepsilon)} est diagonale. En déduire {A^n}.
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Les vecteurs {\varepsilon_1,\varepsilon_2}, non proportionnels, forment une base de {\mathbb{C}^2}.

La matrice de passage de la base canonique à {(\varepsilon)} est {P=\begin{pmatrix}i&-2i\cr 2&1\end{pmatrix}}.

La matrice de {f} dans {(\varepsilon)} est : {B=P^{-1}AP=\dfrac15\begin{pmatrix}-i&2\cr2i&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2i\cr-2i&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i&-2i\cr 2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\cr0&-2\end{pmatrix}}On constate que cette matrice est diagonale.

On pouvait le voir directement en calculant {f(\varepsilon_1)} et {f(\varepsilon_2)}.

En effet {A[\varepsilon_1]_{(e)}=\begin{pmatrix}-1&2i\cr-2i&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\cr 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3i\cr 6\end{pmatrix}=3[\varepsilon_1]_{(e)}} donc {f(\varepsilon_1)=3\varepsilon_1}.

De même {A[\varepsilon_2]_{(e)}=\begin{pmatrix}-1&2i\cr-2i&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2i\cr 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4i\cr -2\end{pmatrix}=-2[\varepsilon_2]_{(e)}} donc {f(\varepsilon_2)=-2\varepsilon_2}.

L’égalité {B=P^{-1}AP} donne {A=PBP^{-1}} puis {A^n=PB^nP^{-1}}.

Cela vaut pour {n\in\mathbb{Z}}, car {A} et {B} sont inversibles.

On trouve finalement, pour tout {n} de {\mathbb{Z}} : {\begin{array}{rl}A^n&=\dfrac15\begin{pmatrix}i&-2i\cr 2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3^n&0\cr0&(-2)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-i&2\cr2i&1\end{pmatrix}\\\\&=\dfrac15\begin{pmatrix}3^n+4(-2)^n& 2i3^n-2i(-2)^n\cr-2i3^n+2i(-2)^n& 43^n+(-2)^n\end{pmatrix}\end{array}}

Exercice 4.
Vérifier que {A=\begin{pmatrix}0&1\cr8&1\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}16&-1\cr232&-15\end{pmatrix}} sont semblables.

Trouver toutes les matrices inversibles {P} telles que {P^{-1}AP=B}.

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Soit {P} une matrice inversible.

On a {P^{-1}AP=B} si et seulement si {PB=AP}.

On va résoudre cette dernière équation (plus simple), et ne garder que les solutions inversibles.

Posons {P=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}}. On a : {PB=AP\Leftrightarrow\begin{pmatrix}16a+232b&-a-15b\cr 16c+232d&-c-15d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&d\cr 8a+c&8b+d\end{pmatrix}}

Cela équivaut à {\begin{cases}16a+232b-c=0\cr a+15b+d=0\cr 8a-15c-232d=0\cr8b+c+16d=0\end{cases}}

Et ce système se réduit à {\begin{cases}a=-15b-d\cr c=-8b-16d\end{cases}}

Les solutions sont donc les matrices : {P(b,d)=\begin{pmatrix}-15b-d&b\cr-8b-16d&d\end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}-15&1\cr-8&0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}-1&0\cr-16&1\end{pmatrix}}Le déterminant d’une telle matrice {P(b,d)} est : {\Delta=bd-d^2+8b^2=-\Bigl(d-\dfrac{b}2\Bigr)^2+\dfrac{33}4b^2}On constate que {\Delta>0} sauf pour {a=b=0}.

Ainsi {P} est inversible si {(b,d)\ne(0,0)}. En conclusion :

  • Les matrices {A} et {B} sont semblables dans {{\mathcal M}_2(\mathbb{R})}.
  • Les matrices {P} telles que {B=P^{-1}AP} sont les : {P=\begin{pmatrix}-15b-d&b\cr-8b-16d&d\end{pmatrix}\text{\ avec\ }(b,d)\ne(0,0)}