Changements de base (1/2)

Exercice 1.
Soit {f} linéaire de {E} muni de {(e)=(e_1,e_2,e_3)}, vers {F} muni de {(\varepsilon)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}.
Soit {A=\begin{pmatrix}2&-1&1\cr3&2&-3\end{pmatrix}} la matrice de {f} dans les bases {(e)} et {(\varepsilon)}.

  1. Déterminer la matrice {B} de {f} quand on remplace {(e)} par {\begin{cases}e'_1=e_2+e_3\\e'_2=e_3+e_1\\e'_3=e_1+e_2\end{cases}}
  2. On garde {(e')} mais on remplace {(\varepsilon)} par {\begin{cases}\varepsilon'_1=2\varepsilon_1+\varepsilon_2\\\varepsilon'_2=5\varepsilon_1+3\varepsilon_2\end{cases}}
    Déterminer la matrice {C} de {f} dans {(e')} et {(\varepsilon')}.

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Exercice 2.
Montrer que {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\cr-3&-3&3\cr -2&-2&2\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}0&1&0\cr0&0&0\cr0&0&0\end{pmatrix}} sont semblables.
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Exercice 3.
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^2)} de matrice {A=\begin{pmatrix}-1&2i\cr-2i&2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Montrer que {\varepsilon_1=(i,2)}, {\varepsilon_2=(-2i,1)} forment une base de {\mathbb{R}^2}.
Montrer que la matrice de {f} dans {(\varepsilon)} est diagonale. En déduire {A^n}.
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Exercice 4.
Vérifier que {A=\begin{pmatrix}0&1\cr8&1\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}16&-1\cr232&-15\end{pmatrix}} sont semblables.

Trouver toutes les matrices inversibles {P} telles que {P^{-1}AP=B}.

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