Calcul du rang d’une matrice (2/3)

Exercice 1.
Calculer le rang de {A=\begin{pmatrix}1&2^2&3^2&\ldots&n^2\cr2^2&3^2&4^2&\ldots&(n+1)^2\cr3^2&4^2&5^2&\ldots&(n+2)^2\cr\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\cr n^2&(n+1)^2&\ldots&\ldots&(2n)^2\end{pmatrix}}
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Le terme général de {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} est {a_{ij}=(i+j-1)^2}.

On écrit {a_{ij}=(j-1)^2+2i(j-1)+i^2}.

Ainsi, pour tout indice {i}, on a {\text{L}_{i}=U+2iV+i^2W}, avec : {\begin{cases}U=(0,1,2^2,\ldots,(j-1)^2,\ldots,(n-1)^2)\cr V=(0,1,2,\ldots,j-1,\ldots,n-1)\cr W=(1,1,1,\ldots,1,\ldots,1)\end{cases}}Les lignes de {A} sont dans l’espace engendré par {U,V,W}.

Il en découle en particulier {\text{rg}(A)\le 3}.

  • si {n=1}, alors {A=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}} est de rang {1}.
  • si {n=2}, alors {A=\begin{pmatrix}1&4\cr 4&9\end{pmatrix}} est de rang {2}.
  • si {n\ge3}, les vecteurs {U=(0,1,4,\ldots)}, {V=(0,1,2,\ldots)} sont indépendants, et {W=(1,1,1,\ldots)} (de première composante non nulle) n’appartient pas au plan qu’ils engendrent.

    Il en découle que le sous-espace {E} de {\mathbb{R}^n} engendré par {U,V,W} est de dimension {3}.

    D’autre part, on a {\begin{cases}\text{L}_{1}=U+2V+W\\\text{L}_{2}=U+4V+4W\\\text{L}_{3}=U+6V+9W\end{cases}}

    La matrice des {\text{L}_{i}} dans {U,V,W} est donc {B=\begin{pmatrix}1&1&1\cr 2&4&6\cr 1&4&9\end{pmatrix}}.

    On a {\text{rg}(B)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&1&1\cr 0&2&4\cr 0&3&8\end{pmatrix}=3}.

    Ainsi {\text{L}_{1},\text{L}_{2},\text{L}_{3}} sont libres et {\text{rg}(A)=3}.

Exercice 2.
Calculer le rang de {A=\begin{pmatrix}75&0&116&39&0\cr171&-69&402&123&45\cr301&0&87&-417&-169\cr114&-46&268&82&30\end{pmatrix}}.
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Contrairement à ce qu’on peut craindre, il n’y a pas de calcul pénible.

On constate en effet que dans {A} on a l’égalité {\text{L}_{2}=\dfrac32\text{L}_{4}}.

On peut donc supprimer la ligne {\text{L}_{2}} sans modifier le rang de la matrice.

Il suffit alors d’une permutation sur les colonnes et la matrice obtenue est échelonnée :

{\begin{array}{rl}\text{rg} A&=\text{rg}\begin{pmatrix}75&0&116&39&0\cr301&0&87&-417&-169\cr114&-46&268&82&30\end{pmatrix}\\\\&=\text{rg}\begin{pmatrix}0&0&116&39&75\cr0&-169&87&-417&301\cr-46&30&268&82&114\end{pmatrix}=3\end{array}}

Exercice 3.
Calculer le rang de {A=\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&-1&-2\cr2&-1&1&0&-2&-2\cr-2&-5&8&-4&3&-1\cr6&0&-1&2&-7&-5\cr-1&-1&1&-1&2&1\end{pmatrix}}.
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On procède par opérations élémentaires sur les lignes de {A} : {\begin{array}{l}\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&-1&-2\cr 2&-1&1&0&-2&-2\cr -2&-5&8&-4&3&-1\cr6&0&-1&2&-7&-5\cr -1&-1&1&-1&2&1\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-2\text{L}_{1}\cr \text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}+2\text{L}_{1}\cr \text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-6\text{L}_{1}\cr\text{L}_{5}\leftarrow\text{L}_{5}+\text{L}_{1}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&-1&-2\cr0&3&-5&2&0&2\cr0&-9&14&-6&1&-5\cr0&12&-19&8&-1&7\cr0&-3&4&-2&1&-1\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}+3\text{L}_{1}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-4\text{L}_{1}\cr\text{L}_{5}\leftarrow\text{L}_{5}+\text{L}_{1}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&-1&-2\cr0&3&-5&2&0&2\cr0&0&-1&0&1&1\cr0&0&1&0&-1&-1\cr0&0&-1&0&1&1\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\cr\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}+\text{L}_{3}\cr\text{L}_{5}\leftarrow\text{L}_{5}-\text{L}_{3}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-2&3&-1&-1&-2\cr0&3&-5&2&0&2\cr0&0&-1&0&1&1\cr0&0&0&0&0&0\cr0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\end{array}}On constate donc que le rang de {A} est égal à {3}.

Exercice 4.
Dans {\mathbb{R}^4}, on pose {\begin{cases}\varepsilon_1=(1,1,1,0)\\\varepsilon_2=(2,1,1,1)\end{cases}} et {\begin{cases}\varepsilon_3=(1,0,1,2)\\\varepsilon_4=(1,-1,-1,1)\end{cases}}
Montrer que les {\varepsilon_i} forment une base de {\mathbb{R}^4}.
Calculer les coordonnées de {v=(1,2,3,4)} dans cette base.
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On écrit la matrice {P} des {\varepsilon_i} dans la base canonique.

On borde cette matrice par la colonne [v]_e des coordonnées de {v}.

Soit {A} la matrice obtenue.

On lui applique la méthode du pivot pour transformer {P} en {I_5} :
{\begin{array}{l}A=\begin{pmatrix}P\mid [v]_e\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&1&1&1\cr1&1&0&-1&2\cr1&1&1&-1&3\cr0&1&2&1&4\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\cr\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{1}-\text{L}_{2}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}-\text{L}_{1}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&2&1&1&1\cr0&1&1&2&-1\cr0&-1&0&-2&2\cr0&1&2&1&4\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}-2\text{L}_{2}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}+\text{L}_{2}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-\text{L}_{2}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&0&-1&-3&3\cr0&1&1&2&-1\cr0&0&1&0&1\cr0&0&1&-1&5\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}+\text{L}_{3}\cr\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-\text{L}_{3}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{3}-\text{L}_{4}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&0&0&-3&4\cr0&1&0&2&-2\cr0&0&1&0&1\cr0&0&0&1&-4\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}+3\text{L}_{4}\cr\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-2\text{L}_{4}\cr\Longrightarrow\cr\end{matrix}\begin{pmatrix}1&0&0&0&-8\cr0&1&0&0&6\cr0&0&1&0&1\cr0&0&0&1&-4\end{pmatrix}\end{array}}On a pu passer de {P} à {I_5} par des opérations élémentaires.

On en déduit que {A} est inversible.

Le résultat ci-dessus montre alors que : {v=-8\varepsilon_1+6\varepsilon_2+\varepsilon_3-4\varepsilon_4}En effet toute succession d’opérations élémentaires sur les lignes se traduit par une multiplication à gauche par une matrice inversible {Q}, et si on passe de {P} à {I_5}, c’est que {Q=P^{-1}}.

En agissant sur {A=(P\mid[v]_e)}, on est passé à : {QA=(QP\mid Q[v]_e)=(I\mid P^{-1}[v]_e)}Enfin on sait que la matrice-colonne des coordonnées de {v} dans {(\varepsilon)} est reliée à la matrice-colonne des coordonnées de {v} dans {(e)} par {[v]_e=P[v]_\varepsilon}.