Calcul du rang d’une matrice (1/3)

Exercice 1.
Déterminer le rang de la matrice {A=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr2&3&4&5&6\cr3&4&5&6&7\cr4&5&6&7&8\end{pmatrix}}.
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On réalise, dans cet ordre, les opérations :{\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-\text{L}_{3},\quad\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}-\text{L}_{2},\quad\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-\text{L}_{1}}Ainsi {\text{rg} A=\text{rg}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr 1&1&1&1&1\cr 1&1&1&1&1\cr 1&1&1&1&1\end{pmatrix}=\text{rg}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr 1&1&1&1&1\end{pmatrix}=2}.

Exercice 2.
Déterminer le rang de la matrice {A=\begin{pmatrix}5&2&20&-2&8\cr8&2&10&0&-6\cr2&2&2&-1&-3\cr-1&5&11&-5&8\end{pmatrix}}.
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On procède par opérations élémentaires sur les lignes de la matrice {A} : {\begin{array}{l}\begin{pmatrix}5&2&20&-2&8\cr8&2&10&0&-6\cr2&2&2&-1&-3\cr-1&5&11&-5&8\end{pmatrix}\\\\\qquad\begin{matrix}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}+5\text{L}_{4}\cr \text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}+8\text{L}_{4}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}+2\text{L}_{4}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}0&27&75&-27&48\cr0&42&98&-40&58\cr0&12&24&-11&13\cr-1&5&11&-5&8\end{pmatrix}\\\\\qquad\begin{matrix}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}/3\cr\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}/2\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}0&9&25&-9&16\cr0&21&49&-20&29\cr0&12&24&-11&13\cr-1&5&11&-5&8\end{pmatrix}\\\\\qquad\begin{matrix}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}-\text{L}_{2}+\text{L}_{3}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\cr0&21&49&-20&29\cr0&12&24&-11&13\cr-1&5&11&-5&8\end{pmatrix}\end{array}}Ainsi {A} et {B=\begin{pmatrix}0&21&49&-20&29\cr0&12&24&-11&13\cr-1&5&11&-5&8\end{pmatrix}} ont le même rang.

Dans la matrice B, les lignes {\text{L}_{1}} et {\text{L}_{2}} sont indépendantes, et {\text{L}_{3}} (dont la première composante n’est pas nulle) n’est pas dans le plan engendré par {\text{L}_{1}} et {\text{L}_{2}}.

On en déduit {\text{rg}(B)=3}, donc {\text{rg}(A)=3}.

Exercice 3.
Déterminer le rang de {A=\begin{pmatrix}1&1&-1&2\cr \lambda&1&1&1\cr 1&-1&3&-3\cr 4&2&0&\lambda\end{pmatrix}}.
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On procède par opérations élémentaires sur les lignes de {A} : {\begin{array}{l}\begin{matrix}\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-\lambda\text{L}_{1}\cr \text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}-\text{L}_{1}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-4\text{L}_{1}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&-1&2\cr0&1-\lambda&1+\lambda&1-2\lambda\cr0&-2&4&-5\cr0&-2&4&\lambda-8\end{pmatrix}\\\\\begin{matrix}\text{L}_{2}\leftarrow2\text{L}_{2}+(1-\lambda)\text{L}_{3}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-\text{L}_{3}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&1&-1&2\cr0&0&2(3-\lambda)&\lambda-3\cr0&-2&4&-5\cr0&0&0&\lambda-3\end{pmatrix}\end{array}}Pour ramener à une forme échelonnée, il reste à échanger {\text{L}_{2}} et {\text{L}_{3}} :

  • Si {\lambda\ne3}, {\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&1&-1&2\cr0&-2&4&-5\cr0&0&-2&1\cr0&0&0&1\end{pmatrix}=4}
  • Si {\lambda=3}, on a {\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&1&-1&2\cr0&-2&4&-5\cr0&0&0&0\cr0&0&0&0\end{pmatrix}=2}.

Exercice 4.
Calculer le rang de {A=\begin{pmatrix}a& b &\ldots& b \cr b&\ddots&\ddots&\vdots\cr \vdots&\ddots&\ddots&b\cr b&\ldots&b&a\end{pmatrix}}, avec A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
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On ne change pas {\text{rg}(A)} en ajoutant à {\text{L}_{1}} la somme des autres lignes.

Dans la matrice {B}, obtenue, la ligne {\text{L}_{1}} s’écrit : {(c,c,\ldots,c)\text{\ avec\ }c=a+(n-1)b}

  • Cas général : {a\ne(1-n)b}.

    Dans B, on divise {\text{L}_{1}} par {c=a+(n-1)b}. On a alors :
    {\begin{array}{l}\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&1&1&\ldots&1\cr b&a&b&\ldots&b\cr \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\cr \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&b\cr b&\ldots&\ldots&b&a\end{pmatrix}\\\\\qquad\begin{matrix}\forall\, i\in\{2,\ldots,n\}\cr \text{L}_{i}\leftarrow\text{L}_{i}-b\text{L}_{1}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\quad\text{rg}\begin{pmatrix}1&1&1&\ldots&1\cr0&a-b&0&\ldots&0\cr\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\cr0&\ldots&\ldots&0&a-b\end{pmatrix}\end{array}}Ainsi {a=b\ne0}, alors {\text{rg} A=1}.

    En revanche, si {a\ne b} (avec {a\ne(1-n)b}), alors {\text{rg} A=n}.

  • Cas particulier : {a=(1-n)b}.

    Si {a=b=0}, on a évidemment {\text{rg} A=0}.

    Supposons donc {a=(1-n)b\ne0}.

    On supprime {\text{L}_{1}=0} dans {B}, et on divise le reste par {b}. On en déduit : {\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&1-n&1&\ldots&1\cr\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\cr1&\ldots&\ldots&1&1-n\end{pmatrix}\text{\ matrice de\ }\mathcal{M}_{n-1,n}(\mathbb{K})}On applique les opérations {\text{C}_{i}\leftarrow\text{C}_{i}-\text{C}_1}, pour {i\ge2}.

    Ainsi {\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&-n&0&\ldots&0\cr\vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\cr1&\ldots&\ldots&0&-n\end{pmatrix}=n-1}.

En conclusion :

  • si {a=b=0,\;\text{rg}(A)=0}
  • si {a=b\ne0,\;\text{rg}(A)=1}
  • si {a=(1-n)b\ne0,\;\text{rg}(A)=n-1}

    • si {a\notin\{b,(1-n)b\},\;\text{rg}(A)=n}.

Exercice 5.
Préciser le rang de {A=\begin{pmatrix}0&r&-q\cr -r&0&p\cr q&-p&0\end{pmatrix}}, avec {(p,q,r)\ne(0,0,0)}.
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On constate que : {\begin{array}{rl}A\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&r&-q\cr -r&0&p\cr q&-p&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}ry-qz\cr -rx+pz\cr qx-py\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}p\cr q\cr r\end{pmatrix}\end{array}}Ainsi {A} représente le produit vectoriel par {\omega=(p,q,r)}.

Le noyau de {A} est donc formé des vecteurs liés à {(p,q,r)}.

On en déduit {\dim\text{Ker}(A)=1}, donc {\text{rg}(A)=2}.