Le théorème de Thalès

Exercice
On se donne deux droites distinctes {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} du plan.
Soient {A,B,C,A',B',C'} six points distincts : {A,B,C} sur {\mathcal{D}} et {A',B',C'} sur {\mathcal{D}'}.
On suppose que {(AA')\parallel(BB')}.
Montrer que : {(AA')\parallel(CC')\Leftrightarrow\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}} (Théorème de Thalès).
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Supposons que {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} soient concourantes en {I}.

Soit {h} l’homothétie de centre {I} telle que {h(A)=B}.

Le point {h(A')} est sur la droite {(IA')} (cette droite est globalement invariante par {h}) et il est sur la parallèle à {(AA')} menée par {B} (une homothétie transforme une droite en une droite parallèle).

Ainsi {h(A')\in(IA')\cap(BB')}, donc {h(A')=B'}.

On en déduit : {\dfrac{\overline{IB}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IA'}}} (c’est le rapport de {h}).

Il en découle : {\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IB}}=\dfrac{\overline{IB'}-\overline{IA'}}{\overline{IB}-\overline{IA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}}.

  • Supposons {(CC')\parallel(AA')}. Comme ci-dessus, on trouve {\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}}.

    Ainsi {\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}}} donc {\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}}.

  • Réciproquement, supposons qu’on ait {\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}}.

    Soit {C''} à l’intersection de {(IA)} et de la parallèle à {(AA')} menée de {C}.

    En utilisant le sens direct, on trouve l’égalité {\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C''}}}.

    Ainsi {\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C''}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}} donc {\overline{A'C''}=\overline{A'C'}} donc {C'=C''}, donc {(CC')\parallel(AA')}.

  • Remarque : on a supposé {\mathcal{D},\mathcal{D}'} concourantes. Si elles sont parallèles, on reprend la même démonstration, mais en remplaçant l’homothétie {h} par la translation de vecteur {\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}}.