Le théorème de Pappus

Exercice (Théorème de Pappus)
On se donne deux droites distinctes {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} du plan.
Soient {A,B,C} trois points distincts de {\mathcal{D}}.
Soient {A',B',C'} trois points distincts de {\mathcal{D}'}.
Montrer que si {\begin{cases}(AB')\parallel(BA')\\ (BC')\parallel(CB')\end{cases}} alors {(CA')\parallel(AC')}.
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Supposons tout d’abord que {\mathcal{D},\mathcal{D}'} soient concourantes en un point {I}.

Soit {h} (resp. {k}) l’homothétie de centre {I} telle que {h(A)=B} (resp. {k(B)=C}).

On a {h(B')=A'} car {(AB')\parallel(BA')}.

De même {k(C')=B'} car {(BC')\parallel(B'C)}.

Les homothéties {h} et {k} commutent car elles ont même centre.

D’autre part {k\circ h(A)=k(B)=C}, et {h\circ k(C')=h(B')=A'}.

Ainsi {(CA')} est l’image de {(AC')} par une homothétie.

Il en résulte que ces deux droites sont parallèles.

Supposons maintenant que {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} soient parallèles.

Soit {t_1} (resp. {t_2}) la translation telle que {t_1(A)=B} (resp. {t_2(B)=C}).

On a {t_1(B')=A'} car {(AB')\parallel(BA')}.

De même {t_2(C')=B'} car {(BC')\parallel(B'C)}.

Les deux translations {t_1} et {t_2} commutent.

D’autre part {t_2\circ t_1(A)=t_2(B)=C}, et de même {t_1\circ t_2(C')=t_1(B')=A'}.

Ainsi {(CA')} est l’image de {(AC')} par une translation.

Il en résulte que ces deux droites sont parallèles.