Le théorème de Desargues

Exercice (Théorème de Desargues)
Soient {ABC} et {A'B'C'} deux triangles du plan, sans sommets communs.
On suppose que {(AB)\parallel(A'B')} et {(BC)\parallel(B'C')}.
Montrer que {(AC)\parallel(A'C')\Leftrightarrow (AA'),(BB'),(CC')} sont parallèles ou concourantes.
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Voici une figure illustrant les deux cas possibles :

  • On suppose que {(AA'),(BB'),(CC')} sont concourantes en un point {I}.

    Le théorème de Thalès donne {\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IB}}} (car {(AB)\parallel(A'B')}).

    Il donne aussi :{\dfrac{\overline{IB'}}{\overline{IB}}=\dfrac{\overline{IC'}}{\overline{IC}}}, car {(BC)\parallel(B'C')}.

    Ainsi, par transitivité : {\dfrac{\overline{IA'}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{IC'}}{\overline{IC}}} donc {(AC)\parallel(A'C')} (réciproque de Thalès).

  • Dans la démonstration précédente, on peut se dispenser de Thalès en invoquant l’homothétie {h} de centre {I} qui transforme {A} en {A'} : le point {h(B)} est sur {(IB)} et sur la parallèle à {(AB)} menée par {h(A)=A'}, donc sur {(A'B')}. Il en résulte {h(B)=B'}.

    Puisque {(BC)\parallel(B'C')} et {h(B)=B'}, l’image de {(BC)} est {(B'C')}.

    De même le point {h(C)} est sur la droite menée par {B'} et parallèle à {(BC)}, donc sur {(B'C')}.

    Puisque {h} est une homothétie de centre {I}, le point {h(C)} est sur {(IC)}.

    Ainsi {h(C)} est sur {(IC)\cap (B'C')}, donc {h(C)=C'}.

    Finalement {h(A)=A'} et {h(C)=C'} impliquent que {(AC)\parallel(A'C')}.

  • Si les droites {(AA'),(BB'),(CC')} sont parallèles, alors les figures {ABB'A'} et {BB'C'C} sont des parallélogrammes (cotés opposés parallèles deux à deux).

    Ainsi {\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}} donc {\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}}, donc {(AC)\parallel(A'C')}.

  • On peut aussi invoquer la translation {t} telle que {t(A)=A'}.

    On a en effet {t(B)=B'} car {t(B)} est sur la parallèle à {(AA')} menée par le point {B} (donc sur {(BB'))}, et sur la parallèle à {(AB)} menée par {A'} (donc sur {(A'B')}).

    Pour des raisons analogues on a {t(C)=C'}, donc {\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}}.

  • Réciproquement, on suppose {(AC)\parallel(A'C')}.

    On suppose d’autre part que {(AA')} et {(BB')} sont concourantes en {I}.

    Soit {h} l’homothétie de centre {I} telle que {h(A)=A'}.

    On sait que {h(B)=B'} (cf sens direct).

    Puisque {h(A)=A'} et {(AC)\parallel(A'C')}, l’image de {(AC)} est {(A'C')}.

    Puisque {h(B)=B'} et {(BC)\parallel(B'C')} l’image de {(BC)} est {(B'C')}.

    Ainsi le point {h(C)} est sur {(B'C')\cap(A'C')}, donc {h(C)=C'}.

    Mais cela implique que {(CC')} passe par {I=(AA')\cap (BB')}.

    Ainsi {(AA')}, {(BB')} et {(CC')} sont concourantes en {I}.

  • Toujours dans la réciproque, on suppose {(AC)\parallel(A'C')} et {(AA')\parallel(BB')}.

    Soit {t} la translation telle que {t(A)=A'}.

    Ainsi {ABB'A'} est un parallélogramme donc {t(B)=B'}.

    Le point {t(C)} est sur la parallèle à {(AC)} menée par {t(A)=A'} donc sur {(A'C')}.

    Il est également sur la parallèle à {(BC)} menée par {t(B)=B'} donc sur {(B'C')}.

    Ainsi {t(C)=C'}, et donc que {(CC')} est parallèle aux droites {(AA')} et {(BB')}.