Sous-espaces affines

Exercice 1.
Dans \mathbb{R}^3, on considère le point {\Omega(1,2,3)} et la droite {\mathcal{D}:\begin{cases}x-y+3z=1\cr 2x+y-z=3\end{cases}}
Donner l’équation du plan passant par {\Omega} et contenant {\mathcal{D}}.
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Notons {\mathcal{P}_1} le plan d’équation {x-y+3z-1=0}.

Notons {\mathcal{P}_2} le plan d’équation {2x+y-z-3=0}.

Ainsi {\mathcal{D}=\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2}.

Les plans contenant {\mathcal{D}} sont ceux dont une équation s’écrit : {\lambda(x-y+3z-1)+\mu(2x+y-z-3)=0}Dire qu’un tel plan contient {\Omega(1,2,3)} c’est écrire que {7\lambda-2\mu=0}.

On peut prendre par exemple {\lambda=2} et {\mu=7}.

Le plan cherché a donc pour équation : {\begin{array}{rl}2(x-y+3z-1)+7(2x+y-z-3)=0\\\\\quad\Leftrightarrow16x+5y-z=23\end{array}}

Exercice 2.
Dans \mathbb{R}^3, on considère les droites {\mathcal{D}\begin{cases}x-z=2\cr y+z=1\end{cases}} et {\mathcal{D}'\begin{cases}x-y+z=0\cr x+y-2z=\lambda\end{cases}}
Pour quelles valeurs de {\lambda} sont-elles coplanaires?
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Un vecteur directeur de {\mathcal{D}} est {u=(1,-1,1)}.

Un vecteur directeur de {\mathcal{D}'} est {u'=(1,3,2)}.

Ces deux vecteurs étant libres, {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} ne sont jamais parallèles.

Dire qu’elles sont coplanaires, c’est donc dire qu’elles sont concourantes. Or : {\begin{cases}x-z=2\cr y+z=1\cr x-y+z=0\cr x+y-2z=\lambda\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=2+z\cr y=1-z\cr 1+3z=0\cr 3-2z=\lambda\end{cases}}

Ce système n’est compatible que si {\lambda=11/3}.

Il admet alors la solution {(x,y,z)=(5/3,4/3,-1/3)}.

On a ainsi obtenu le seul {\lambda} pour lequel {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} sont coplanaires (concourantes), ainsi que leur point d’intersection dans ce cas.

Exercice 3.
Dans \mathbb{R}^3, on considère les droites {D_\lambda} d’équation {\begin{cases}x=\lambda+\lambda^2z\cr y=\lambda^2+\lambda z\end{cases}}
Montrer qu’il existe deux droites horizontales coupant toutes les droites {D_\lambda}.
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Un vecteur directeur de {\mathcal{D}_\lambda} est {(\lambda^2,\lambda,1)}.

Aucune des droites {\mathcal{D}_\lambda} n’est donc horizontale.

Une droite horizontale {\Delta} peut être représentée par {\begin{cases}z=a\cr ux+vy+w=0\end{cases}}

En effet, cela revient à interpréter {\Delta} comme l’intersection du plan horizontal d’équation {z=a} et du plan vertical d’équation {ux+vy+w=0}, avec {(u,v)\ne(0,0)}.

La droite {\mathcal{D}_\lambda} ne peut rencontrer une telle droite {\Delta} qu’au point {(\lambda+\lambda^2a,\lambda^2+\lambda a,a)}.

Pour que {\mathcal{D}_\lambda} rencontre effectivement {\Delta}, il faut et il suffit que : {u(\lambda+\lambda^2a)+v(\lambda^2+\lambda a)+w=0}Cette condition s’écrit {(au+v)\lambda^2+(u+av)\lambda+w=0}.

Cela est vrai pour tout {\lambda} si et seulement si {\begin{cases}au+v=0\cr u+av=0\cr w=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(1-a^2)u=0\cr v=-au\cr w=0\end{cases}}

Comme on cherche {(u,v)\ne(0,0)} cela équivaut à : {a=\pm 1,\quad v=-au,\quad w=0}On obtient donc les droites {\Delta_1\begin{cases}z=1\cr x-y=0\end{cases}} et {\Delta_1\begin{cases}z=-1\cr x+y=0\end{cases}}

Exercice 4.
Dans \mathbb{R}^3, on considère trois points non alignés {A,B,C}.
Soit {\Omega} un point extérieur au plan {(ABC)}.
Soient {A',B',C'} des points respectivement sur les droites {(\Omega A),(\Omega B),(\Omega C)}.
Soient {G,G'} les isobarycentres des triangles {ABC}, {A'B'C'}.
Quelle est la condition pour que {\Omega ,G,G'} soient alignés ?
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On se place dans le repère {(\Omega , \overrightarrow{\Omega A}, \overrightarrow{\Omega B}, \overrightarrow{\Omega C})}.

On a alors les coordonnées {\begin{cases}A'(\alpha,0,0)\\B'(0,\beta,0)\\C'(0,0,\gamma)\end{cases}}, avec {\alpha\beta\gamma\ne0}.

L’équation du plan {(ABC)} est {x+y+z=1}.

Celle du plan {(A'B'C')} est {\dfrac x\alpha +\dfrac y\beta +\dfrac z\gamma=1}.

On a les coordonnées {G\Bigl(\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13\Bigr)} et {G'\Bigl(\dfrac\alpha 3,\dfrac\beta 3,\dfrac\gamma 3\Bigr)}.

Donc {\Omega,G,G'} sont alignés {\Leftrightarrow\alpha=\beta=\gamma}.

D’une façon générale la condition est donc que {(ABC)} et {(A'B'C')} soient parallèles.