Sommes de sous-espaces vectoriels

Exercice 1.
Montrer que dans l’espace vectoriel {E} de toutes les fonctions {f} de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, les ensembles {\mathcal P} et {\mathcal I} formés respectivement des fonctions paires et impaires forment
deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.
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Il est clair que {\mathcal P} et {\mathcal I} sont deux sous-espaces de {E}.

En effet, la fonction nulle est à la fois paire et impaire.

D’autre part, si {f,g} sont paires (resp. impaires), et si \alpha,\beta sont deux scalaires quelconques, alors {\alpha f+\beta g} est paire (resp. impaire).

Pour démontrer que {E={\mathcal P}\oplus{\mathcal I}}, on doit montrer que toute fonction {f} de {E} s’écrit de manière unique comme la somme {f=p+i} d’une fonction {p} de {\mathcal P} et d’une fonction {i} de {\mathcal I}.

Supposons qu’une telle décomposition existe.

Alors pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a {f(x)=p(x)+i(x)}.

On en déduit, pour tout {x} de {\mathbb{R}} :{\begin{cases}f(x)=p(x)+i(x)\\ f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)\end{cases}}Il en découle, pour tout {x} de {\mathbb{R}} :
{p(x)=\dfrac12\bigl(f(x)+f(-x)\bigr)\text{\ et\ }i(x)=\dfrac12\bigl(f(x)-f(-x)\bigr)}Cela prouve l’unicité du couple {(p,i)} si ce couple existe.

Mais réciproquement, on constate que les deux applications {p,i} ainsi définies sont respectivement paire et impaire et qu’elles vérifient {f=p+i}.

Cela assure donc l’existence et l’unicité du couple {(p,i)}, ce qui achève la démonstration.

Exercice 2.
Soient {A,B,C,D} quatre sous-espaces de {E} tels que {E=A\oplus B=C\oplus D}.
On suppose que {A\subset C} et {B\subset D}. Montrer que {A=C} et {B=D}.
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Compte tenu de la symétrie du problème, il suffit de prouver {C\subset A}.

On se donne donc un élément {c} de {C}.

Puisque {E=A\oplus B}, il existe {(a,b)\in A\times B} tel que {c=a+b}.

Ainsi {a\in C} et {b\in D}. L’élement {c-a=b} est donc dans {C\cap D}.

Puisque {C} et {D} sont en somme directe, il en découle {c-a=b=0}.

Cela prouve que {c} est élément de {A}.

On a donc prouvé l’inclusion {C\subset A}, donc l’égalité {C=A}.

Pour les mêmes raisons, on a {D=B}.

Exercice 3.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel.

  1. Soient {E_1} et {E_2} deux sous-espaces de {E} tels que {E=E_1+E_2}.
    Soit {F_2} un supplémentaire de {E_1\cap E_2} dans {E_2}.
    Montrer que {E=E_1\oplus F_2}.
  2. Soient {E_1,E_2,\ldots,E_n} des sous-espaces de {E} tels que {E=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}E_k}.
    Montrer qu’il existe des sous-espaces {F_1,F_2,\ldots,F_n} de {E} tels que {F_j\subset E_j} pour tout indice {j} et tels que {E=F_1\oplus F_2\oplus\cdots\oplus F_n}.

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  1. Tout {x\in E} peut s’écrire {x=x_1+x_2}, avec {x_1\in E_1} et {x_2\in E_2}.

    Puisque {E_2=(E_1\cap E_2)\oplus F_2}, on peut écrire {x_2=y+x'_2}, où {\begin{cases}y\in E_1\cap E_2\\x'_2\in F_2\end{cases}}

    En particulier, {y} est un élément de {E_1}.

    On en déduit que {x=x_1+(y+x'_2)=(x_1+y)+x'_2} est dans {E_1+F_2}.

    On a donc prouvé {E=E_1+F_2}. Il reste à vérifier que {E_1+F_2} est directe.

    Or si {x\in E_1\cap F_2}, alors {x\in E_1\cap E_2}.

    Ainsi x est dans {(E_1\cap E_2)\cap F_2=\{0\}}, donc x=0.

    En conclusion, on a {E=E_1\oplus F_2}.

  2. On procède par récurrence sur l’entier {n\ge2}.

    D’après (1), la propriété est vraie si {n=2}.

    On suppose que la propriété est vraie pour {n-1} sous-espaces, avec {n\ge3}.

    On se donne les sous-espaces {E_1,E_2,\ldots,E_{n-1},E_n} de {E}.

    Posons {E'=E_1+E_2+\cdots+E_{n-1}}. Avec cette notation, {E=E'+E_n}.

    D’après la question (1), il existe un sous-espace {F_n} de {E_n} (par exemple un supplémentaire de {E'\cap E_n} dans {E_n}) tel que {E=E'\oplus F_n}.

    L’hypothèse de récurrence, appliquée aux {n-1} sous-espaces {E_1,\ldots,E_{n-1}} de {E'}, montre qu’il existe {F_1,\ldots,F_{n-1}}, sous-espaces de {E_1,\ldots,E_{n-1}}, tels que {E'=F_1\oplus \ldots\oplus F_{n-1}}.

    Avec ces notations, on a alors {E=E'\oplus F_n=F_1\oplus F_2\oplus \ldots\oplus F_{n-1}\oplus F_n}, ce qui prouve la propriété au rang {n} et achève la récurrence.