Relations coefficients-racines (2/3)

Exercice 1.
Condition sur {p,q} pour que {A=X^3+pX+q} ait un zéro multiple.
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Pour cet exercice, on va voir trois méthodes.

  1. {A=X^3+pX+q} a une racine multiple {\Leftrightarrow A,A'} ont une racine commune.

    Dire que {A,A'} ont une racine commune, c’est dire que {\deg(A\wedge A')\ge1}.

    Or {3A=XA'+(2pX+3q)}. Donc {A\wedge A'=A'\wedge (2pX+3q)}.

    Remarquons que si {p=0} alors la condition est {q=0}.

    On peut donc supposer {p\ne0}. On obtient alors : {4p^2A'=(2pX+3q)(6pX-9q)+4p^3+27q^2}Ainsi {A\wedge A'=(2pX+3q)\wedge(4p^3+27q^2)}.

    La condition sur le pgcd s’écrit ici {4p^3+27q^2=0} (compatible avec {p=0}).

    Conclusion : {A=X^3+pX+q} a une racine multiple {\Leftrightarrow 4p^3+27q^2=0}.

  2. {A=X^3+pX+q} a une racine multiple {\Leftrightarrow A,A'} ont une racine commune.

    Les racines de {A'} sont {\pm\omega}, avec {\omega^2=-\dfrac{p}{3}}.

    On constate que {A(\omega)=\omega\omega^2+p\omega+q=\dfrac{2p}{3}\omega+q}.

    De même, {A(-\omega)=\dfrac{-2p}{3}\omega+q}.

    Il reste à exprimer que {A(\omega)=0} ou {A(-\omega)=0}.

    Mais cela se résume à {A(\omega)A(-\omega)=0}. Or : {\begin{array}{rl}A(\omega)A(-\omega)&=\Bigl(\dfrac{2p}{3}\omega+q\Bigr)\Bigl(-\dfrac{2p}{3}\omega+q\Bigr)\\\\&=q^2-\dfrac{4p^2}{9}\omega^2=q^2+\dfrac{4p^3}{27}\end{array}}Conclusion : {A=X^3+pX+q} a une racine multiple {\Leftrightarrow 4p^3+27q^2=0}.

  3. Soient {a,b,c} les racines de {A=X^3+pX+q}.

    Notons {\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3} leurs fonctions symétriques élémentaires.

    On a {\sigma_1=0}, {\sigma_2=p}, {\sigma_3=-q}.

    L’expression {\varphi=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} est symétrique en {a,b,c}.

    Et {A} possède une racine multiple si et seulement si {\varphi=0}.

    Il reste à exprimer {\varphi} en fonction des coefficients de {A}.

    On remarque que {(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}.

    Or {a+b+c=0} et {abc=-q}.

    Il en découle (si {c\ne0}) : {(a-b)^2=c^2+4\dfrac{q}{c}=\dfrac{c^3+4q}{c}=\dfrac{-pc+3q}{c}}Finalement, on trouve {\varphi} en fonction de {p,q} (si {q=-abc\ne0}) : {\begin{array}{rl}\varphi&=\dfrac{1}{abc}(-pa+3q)(-pb+3q)(-pc+3q)\\\\&=\dfrac{1}{\sigma_3}(-p^3\sigma_3+3qp^2\sigma_2-9q^2p\sigma_1+27q^3)\\\\&=-(4p^3+27q^2)\end{array}}Si {q=0} (par exemple si {a=0}) alors {\begin{cases}b+c=0\\ bc=p\end{cases}}

    Dans ces conditions on a encore : {\begin{array}{rl}\varphi&=b^2c^2(b-c)^2=p^2(-4bc)\\\\&=-4p^3=-(4p^3+27q^2)\end{array}}

    Conclusion : {A=X^3+pX+q} a une racine multiple {\Leftrightarrow 4p^3+27q^2=0}.

Exercice 2.
Résoudre {8x^3-42x^2+63x-27=0}.
Indication : les solutions sont en progression géométrique.
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Notons {a,b,c} les trois racines, avec {ac=b^2}.

On ajoute cette condition aux relations coefficients-racines :
{\begin{array}{rl}\begin{cases}a+b+c=\dfrac{21}{4}\\ab+ac+bc=\dfrac{63}{8}\\ abc=\dfrac{27}{8}\\ ac=b^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a+b+c=\dfrac{21}{4}\\ b(a+b+c)=\dfrac{63}{8}\\ b^3=\dfrac{27}{8}\\ ac=b^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b=\dfrac32\\ a+c=\dfrac{15}{4}\\ ac=\dfrac{9}{4}\end{cases}\end{array}}

Les deux dernières équations expriment que {a,c} sont les solutions de {4t^2-15t+9=0}.

Or {4t^2-15t+9=(t-3)(4t-3)}.

On obtient donc {\{a,c\}=\Bigl\{\dfrac34,3\Bigr\}}.

Les racines de {P=8x^3-42x^2+63x-27} sont {\dfrac34,\dfrac32,3}.

Ces racines sont effectivement en progression géométrique de raison {2}.

Exercice 3.
Donner la condition sur {p,q,r} pour que l’une des solutions de {x^3+px^2+qx+r=0} soit la somme des deux autres.
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Notons {a,b,c} les solutions de {A(x)=x^3+px^2+qx+r=0}.

On sait que {a+b+c=-p}.

Dire que {a} est égal à {b+c}, c’est écrire que {2a=a+b+c=-p}.

Finalement la condition s’exprime en disant que {-\dfrac{p}{2}} est solution de {A(x)=0}. Or : {A\Bigl(-\dfrac{p}{2}\Bigr)=-\dfrac{p^3}{8}+\dfrac{p^3}{4}-\dfrac{pq}{2}+r=\dfrac{p^3}{8}-\dfrac{pq}{2}+r}La condition recherchée est donc : {p^3-4pq+8r=0}.

Exercice 4.
Déterminer {a} pour que {\begin{cases}A=X^4-X+a\\ B=X^2-aX+1\end{cases}} aient un zéro en commun.
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Si {x} annule {A} et {B}, il annule le reste {R} dans la division {A=BQ+R} de {A} par {B}.

Or le reste de cette division est {R=(a^2-a-1)\bigl((a+1)x-1\bigr)}.

  • Si {a^2-a-1=0}, c’est-à-dire si {a\in\Bigl\{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr\}} :

    Dans ce cas, le polynôme {B} divise le polynôme {A}.

    Chacune des deux racines de {B} est donc une racine de {A}.

  • Sinon, la seule racine commune possible est celle de {R}, donc {x=\dfrac{1}{a+1}}.

    On constate que {B\Bigl(\dfrac{1}{a+1}\Bigr)=\dfrac{a+2}{(a+1)^2}}.

    La condition cherchée est donc {a=-2}.

    En effet, si {x} est racine de {R} et {B}, alors il est racine de {A=BQ+R}.

Conclusion : {A,B} ont au moins un zéro commun{\Leftrightarrow a\in\Bigl\{-2,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr\}}.

Exercice 5.
Calculer {\displaystyle\sum\Bigl(\dfrac{\alpha+2}{2\alpha+5}\Bigr)^3}, où {\alpha} décrit les racines de {x^3+2x^2-x+1=0}.
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Posons {A(x)=x^n-1}.

Le changement de variable {\beta=\dfrac{\alpha+2}{2\alpha+5}} s’inverse en {\alpha=-\dfrac{5\beta-2}{2\beta-1}}.

On a les équivalences : {\begin{array}{rl}A(\alpha)=0&\Leftrightarrow \alpha^3+2\alpha^2-\alpha+1=0\\\\&\Leftrightarrow -\Bigl(\dfrac{5\beta-2}{2\beta-1}\Bigr)^3+2\Bigl(\dfrac{5\beta-2}{2\beta-1}\Bigr)^2+\dfrac{5\beta-2}{2\beta-1}+1=0\\\\&\Leftrightarrow -(5\beta-2)^3+2(5\beta-2)^2(2\beta-1)\\\\&\quad+(5\beta-2)(2\beta-1)^2+(2\beta-1)^3=0\\\\&\Leftrightarrow 3\beta^3-20\beta^2+15\beta-3=0\end{array}}Ainsi {A(\alpha)=0\Leftrightarrow B(\beta)=0}, où {B(\beta)=3\beta^3-20\beta^2+15\beta-3}.

On doit donc calculer {\displaystyle\sum \beta^3}, où {\beta} décrit l’ensemble des racines de {B}.

Avec les notations habituelles : {\sigma_1=\sum\beta=\dfrac{20}{3},\;\sum\beta^2=\sigma_1^2-2\sigma_2=\Bigl(\dfrac{20}{3}\Bigr)^2-10=\dfrac{310}{9}}On somme les égalités {3\beta^3-20\beta^2+15\beta-3=0}, pour toutes les racines {\beta} de {B}: {\begin{array}{l}3\sum\beta^3-20\sum\beta^2+15\sum\beta-9=0\\\\\quad\Rightarrow\sum\beta^3=\dfrac{20}{3}\sum\beta^2-5\sum\beta+3\\\\\quad=\dfrac{6200}{27}-\dfrac{100}{3}+3=\dfrac{5381}{27}\end{array}}Conclusion: quand {\alpha} décrit l’ensemble des racines de {A}, on a : {\displaystyle\sum\Bigl(\dfrac{\alpha+2}{2\alpha+5}\Bigr)^3=\dfrac{5381}{27}}