Relations coefficients-racines (1/3)

Exercice 1.
Résoudre le système {(\Sigma):\begin{cases}x+y+z=1\cr xy+xz+yz=1\cr xyz=1\end{cases}}
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Notons {\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3} les fonctions symétriques élémentaires de {x,y,z}.

Le système {(\Sigma)} s’écrit {\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=1}.

Cela équivaut à dire que {\{x,y,z\}} est l’ensemble {\mathcal S} des solutions de l’équation {t^3-\sigma_1t^2+\sigma_2t-\sigma_3=0}, c’est-à-dire de l’équation {t^3-t^2+t-1=0}.

Celle-ci s’écrit {(t-1)(t-i)(t+i)=0}, donc {{\mathcal S}=\{1,-i,i\}}.

Les solutions de {(\Sigma)} sont donc les six triplets {(x,y,z)} tels que {\{x,y,z\}=\{1,-i,i\}}.

Exercice 2.
Résoudre le système {(\Sigma):\begin{cases}x+y+z=1\\ x^2+y^2+z^2=9\\\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1\end{cases}}
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Comme dans l’exercice précédent : {\begin{array}{l}\begin{cases}x+y+z=1\\ x^2+y^2+z^2=9\\\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\sigma_1=1\\ \sigma_1^2-2\sigma_2=9\\\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\sigma_1=1\\ \sigma_2=-4\\\sigma_3=-4\end{cases}\end{array}}

Cela équivaut à dire que {x,y,z} sont les solutions de l’équation {t^3-t^2-4t+4=0} c’est-à-dire de : {(t-1)(t-2)(t+2)=0}.

Les solutions de (\Sigma) sont donc les six triplets {(x,y,z)} tels que {\{x,y,z\}=\{1,2,-2\}}.

Exercice 3.
On considère l’équation {(E) : x^4-4x^3+x^2+6x+2=0}.
Résoudre (E) sachant que la somme de deux des solutions vaut {2}.
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Notons {a,b,c,d} les racines de {P=x^4-4x^3+x^2+6x+2}.

On choisit par exemple {a+b=2}.

On écrit les relations coefficients-racines et on ajoute la condition {a+b=2}.

On transforme le système obtenu, par équivalences :

{\begin{array}{l}\begin{cases}a+b+c+d=4\\ ab+ac+ad+bc+bd+cd=1\\ abc+abd+acd+bcd=-6\\ abcd=2\\ a+b=2\end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases}c+d=2\\ (a+b)(c+d)+ab+cd=1\\ ab(c+d)+cd(a+b)=-6\\ (ab)(cd)=2\\ a+b=2\end{cases}\\\\\Leftrightarrow\begin{cases}c+d=2\\ ab+cd=-3\\ ab+cd=-3\\ (ab)(cd)=2\\ a+b=2\end{cases}\end{array}}

Le fait qu’on obtienne deux équations identiques confirme que le problème a des solutions.

De plus, {\begin{cases}ab+cd=-3\\ (ab)(cd)=2\end{cases}} signifie que {ab} et {cd} sont les solutions de {t^2+3t+2=0}.

Or {t^2+3t-2=(t+1)(t+2)}.

Ainsi {\begin{cases}ab+cd=-3\\ (ab)(cd)=2\end{cases}\Leftrightarrow \{ab,cd\}=\{-1,-2\}}.

Comme {\{a,b\}} et {\{c,d\}} jouant le même rôle, on peut supposer {ab=-1} et {cd=-2}.

On obtient finalement {\begin{cases}a+b=2\\ ab=-1\end{cases}} et {\begin{cases}c+d=2\\ cd=-2\end{cases}}.

Le système {\begin{cases}a+b=2\\ ab=-1\end{cases}} signifie que {a,b} sont les racines de {t^2-2t-1=0}.

Le système {\begin{cases}c+d=2\\ cd=-2\end{cases}} signifie que {a,b} sont les racines de {t^2-2t-2=0}.

Or {t^2-2t-1=0\Leftrightarrow t\in\bigl\{1-\sqrt2,1+\sqrt2\bigr\}}.

De même {t^2-2t-2=0\Leftrightarrow t\in\bigl\{1-\sqrt3,1+\sqrt3\bigr\}}.

Finalement, on peut choisir {\begin{cases}a=1-\sqrt2\\ b=1+\sqrt2\end{cases}}, {\begin{cases}c=1-\sqrt3\\d=1+\sqrt3\end{cases}}

On a ainsi obtenu les solutions de {P=x^4-4x^3+x^2+6x+2}.

Exercice 4.
Calculer {a^4+b^4+c^4}{a,b,c} sont les racines de {P=X^3+pX+q}.
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Avec les notations habituelles : {\begin{cases}a+b+c=\sigma_1=0\\ a^2+b^2+c^2=\sigma_1^2-2\sigma_2=-2p\end{cases}}

Par définition de a,b,c, on a : {(S):\begin{cases}a^3+pa+q=0\\ b^3+pb+q=0\\ c^3+pc+q=0\end{cases}}

On en déduit {a^3+b^3+c^3=-p(a+b+c)-3q=-3q}.

De même, a,b,c vérifient {(S)\Rightarrow\begin{cases}a^4+pa^2+qa=0\\b^4+pb^2+qb=0\\ c^4+pc^2+qc=0\end{cases}}

On en déduit {a^4+b^4+c^4=-p(a^2+b^2+c^2)-q(a+b+c)=2p^2}.

La somme des puissances quatrièmes des racines de {P} vaut donc {2p^2}.

Exercice 5.
Soient {a,b,c} les racines de {A=X^3+pX^2+qX+r}.
Former le polynôme de racines {\alpha=b+c}, {\beta=a+c} et {\gamma=a+b}.
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La somme des racines {a,b,c} de {A} vaut {-p}.

Les scalaires {\alpha,\beta,\gamma} peuvent donc s’écrire : {\alpha=-p-a,\;\beta=-p-b,\;\gamma=-p-c}Or avec {y=-p-x}, on a {A(x)=0\Leftrightarrow A(-p-y)=0}.

Ainsi {A(x)=0\Leftrightarrow B(y)=0} avec {y=-p-x} et {B(Y)=-A(-p-Y)}.

Le polynôme unitaire dont les racines sont {\alpha,\beta,\gamma} est donc : {\begin{array}{rl}B(X)&=-A(-p-X)=(p+X)^3-p(p+X)^2+q(p+X)-r\\\\&=X^3+2pX^2+(p^2+q)X-r+qp\end{array}}