Géométrie et barycentres (1/2)

Exercice 1.
Soit {H} un point du plan d’un triangle {ABC}. Soient {A',B',C'} les symétriques de {H} par rapport aux milieux de {[B,C]}, {[C,A]} et {[A,B]}.
Montrer que les droites {(A,A')}, {(B,B')}, {(C,C')} sont concourantes en un point {K} situé sur la droite joignant {H} à l’équibarycentre {G} du triangle {ABC}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Les segments {[A,C]} et {[H,B']} ont même milieu, donc {B'=A+C-H}.

Ainsi {B+B'=A+B+C-H=3G-H}.

Pareillement, on a {A+A'=C+C'=3G-H}.

Définissons le point {K=\dfrac{3G-H}{2}}, barycentre de {(G,3)} et de {(H,-1)}.

Mais K=\dfrac{A+A'}{2}=\dfrac{B+B'}{2}=\dfrac{C+C'}{2} est aussi le milieu de {[A,A'],[B,B'],[C,C']}.

Ainsi les droites {(AA'),(BB'),(CC')} concourent en {K} aligné avec {G} et {H}.

Exercice 2.
Dans le plan, on se donne un quadrilatère {ABCD} non croisé. On note {A'B'C'D'} le quadrilatère joignant les isobarycentres de {BCD,CDA,DAB,ABC}.
Comment le quadrilatère {A'B'C'D'} se déduit-il du quadrilatère {ABCD}?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Notons {G} l’équibarycentre des quatre points {A,B,C}. On a : {A'=\dfrac{B+C+D}{3}=\dfrac{4G-A}{3}\Rightarrow\overrightarrow{GA'}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{GA}}De même, on trouve : {\overrightarrow{GB'}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{GB},\quad\overrightarrow{GC'}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{GC},\quad\text{et}\quad\overrightarrow{GD'}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{GD}}Ainsi {A'B'C'D'} se déduit de {ABCD} par l’homothétie de centre {G} de rapport {-1/3}.

Le point {G} est donc également l’équibarycentre des quatre points {A',B',C',D'}.

Exercice 3.
Dans le plan, on se donne un parallélogramme {ABCD}.
Soient {I} le milieu de {AB} et {J} celui de {AD}. Montrer que les droites {(IC)} et {(JC)} divisent la diagonale {[B,D]} en trois parties égales.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Soit {K} le point au tiers de la diagonale {[B,D]} à partir de {B}.

On a {K=B+\dfrac13(D-B)=\dfrac13D+\dfrac23B}.

On a {D-A=C-B} car {ABCD} est un parallélogramme.

Ainsi {K=\dfrac13(A+C-B)+\dfrac23B=\dfrac13(A+B+C)}.

Le point {K} est donc est le barycentre de {ABC}, donc sur la médiane {[C,I]} de ce triangle.

De même, le point {L} situé au tiers de la diagonale {[B,D]} à partir de {D} est sur {[C,J]}.

Ainsi {(CI)} et {(CJ)} délimitent sur {[B,D]} les segments {[B,K]}, {[K,L]}, {[L,D]} de même longueur.