Géométrie et barycentres (2/2)

Exercice 1.
On se donne {n} points {A_1,\ldots,A_n}, avec {n\ge2}.
Pour tout {k\in\{1,\ldots,n\}}, soit {G_k} l’équibarycentre des {(A_j)_{j\ne k}}.
Montrer qu’on a l’égalité {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\overrightarrow{A_kG_k}=\overrightarrow{0}}.
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Exercice 2.
Soit ABC un triangle du plan, et des points {A',B',C'} sur {(BC),(AC),(AB)}.
On suppose que les droites {(AA'),(BB'),(CC')} sont sécantes en un point {M}.
Montrer que {\dfrac{\overline{A'M}}{\overline{A'A}}+\dfrac{\overline{B'M}}{\overline{B'B}}+\dfrac{\overline{C'M}}{\overline{C'C}}=1} (théorème de Gergonne).
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Exercice 3.
Dans le plan, on se donne un quadrilatère {ABCD} non croisé.
Montrer que les sept droites suivantes concourent en un même point (lequel?) :

  • Les quatre droites joignant un sommet à l’isobarycentre des trois autres sommets.
  • Les deux droites joignant les milieux de deux cotés opposés.
  • La droite joignant les milieux des deux diagonales.

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