Formes linéaires

Exercice 1.
Soit {f:E\rightarrow\mathbb{K}} une forme linéaire.
Montrer que {f} est identiquement nulle ou surjective.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 2.
Montrer que deux formes linéaires non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 3.
Dans {\mathbb{R}^n}, base et dimension de {H=\Big\{u=(x_1,x_2,\cdots,x_n), \displaystyle\sum_{k=1}^nx_k=0\Big\}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 4.
Soit {E} un {\mathbb{K}-}espace vectoriel de dimension {3}.
Soit {g\in{\mathcal L}(E)}, tel que {g^2=0}.
Montrer : {\exists\,a\ne0\in E,\;\exists\,f\in E^*,\;\forall\, u\in E,\;g(u)=f(u)a}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site

Exercice 5.
Soit {f_1,\ldots,f_p}, {p} formes linéaires indépendantes sur {\mathbb{K}^n}.
Soit {f} une forme linéaire sur {\mathbb{K}^n}.

  1. Montrer que {f} est combinaison linéaire de {f_1,f_2,\ldots,f_p} si et seulement si le noyau de {f} contient l’intersection des noyaux des {f_k}.
  2. Montrer que ce résultat reste vrai si {f_1,f_2,\ldots,f_p} sont liées.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site