Familles libres, génératrices, bases (1/2)

Exercice 1.
Montrer que la famille {a=(9,-3,7)}, {b=(1,8,8)}, {c=(5,-5,1)} est liée.
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On doit trouver {(\alpha,\beta,\gamma)\ne0} tel que {\alpha a+\beta b+\gamma c=0}.

{\begin{array}{rl}\alpha a+\beta b+\gamma c=0&\Leftrightarrow\alpha (9,-3,7)+\beta (1,8,8)+\gamma (5,-5,1)=0\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}9\alpha+\beta+5\gamma=0\\3\alpha-8\beta+5\gamma=0\\7\alpha+8\beta+\gamma=0\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}9\alpha+\beta+5\gamma=0\\ 6\alpha+9\beta=0\\26\alpha+39\beta=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}9\alpha+\beta+5\gamma=0\\ 2\alpha+3\beta=0\end{cases}\end{array}}

Ce système a des solutions non nulles parmi lesquelles {\alpha=3}, {\beta=-2}, {\gamma=-5}.

Ainsi {3a-2b-5c=0} : la famille {a,b,c} est liée.

Exercice 2.
Peut-on déterminer {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{R}} tels que le vecteur {u=(-2,\lambda,\mu,3)} appartienne au sous-espace vectoriel de {\mathbb{R}^4} engendré par {a=(1,-1,1,2)} et {b=(-1,2,3,1)}?
Même question avec {u=(\lambda,1,\mu,1)}, {a=(1,2,3,4)}, et {b=(1,-2,3,-4)}.
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  • On résout {u=x a+ y b}, d’inconnues {x,y}, de paramètres {\lambda,\mu}.

    {\begin{array}{rl}u=x a+ y b&\Leftrightarrow (-2,\lambda,\mu,3)=x(1,-1,1,2)+y(-1,2,3,1)\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x-y=-2\\ -x+2y=\lambda\\ x+3y=\mu\\ 2x+y=3\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow x=\dfrac13,\; y=\dfrac73,\; \lambda=\dfrac{13}3,\; \mu=\dfrac{22}3\end{array}}Ainsi {u\in\text{Vect}\{a,b\}} si et seulement si {\lambda=\dfrac{13}3} et {\mu=\dfrac{22}3}.

  • Si {u=(\lambda,1,\mu,1)}, {a=(1,2,3,4)}, {b=(1,-2,3,-4)}, la réponse est négative.

    En effet {a} et {b} sont dans l’hyperplan {H=\{w=(x,y,z,t),t=2y\}}.

    Il en est donc de même de leurs combinaisons linéaires.

    Or {u=(\lambda,1,\mu,1)} n’est jamais dans {H}.

    Il ne peut donc être dans le plan engendré par {a,b}.

Exercice 3.
Dans l’espace vectoriel de toutes les fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, montrer que la famille de fonctions {f_\lambda:x\mapsto\exp(\lambda x)} (avec {\lambda\in\mathbb{R}}) est libre.
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On se donne une famille {(\alpha_\lambda)_{\lambda\in \mathbb{R}}} à support fini.

On suppose que {\displaystyle\sum_{\lambda\in \mathbb{R}}\alpha_\lambda f_\lambda=0}.

On suppose par l’absurde que les {\alpha_\lambda} ne sont pas tous nuls.

La famille des {\alpha_\lambda} étant à support fini, il existe un {\lambda_0} maximum tel que {\alpha_{\lambda_0}\ne0}.

L’égalité {\displaystyle\sum_{\lambda\in \mathbb{R}}\alpha_\lambda f_\lambda=0} devient alors {\alpha_{\lambda_0}f_{\lambda_0}=-\displaystyle\sum_{\lambda\lt \lambda_0}\alpha_\lambda f_\lambda}.

Autrement dit : {\forall x\in\mathbb{R},\;\alpha_{\lambda_0}\exp(\lambda_0 x)=-\displaystyle\sum_{\lambda\lt \lambda_0}\alpha_\lambda\exp(\lambda x)}.

En multipliant par {\exp(-\lambda_0 x)} on obtient : {\forall x\in\mathbb{R},\;\alpha_{\lambda_0}=-\displaystyle\sum_{\lambda\lt \lambda_0}\alpha_\lambda \exp\bigl((\lambda-\lambda_0)x\bigr)}Dans cette somme (finie) on a toujours {\lambda-\lambda_0\lt 0}.

Quand {x\to+\infty} on trouve donc {\alpha_{\lambda_0}=0}, ce qui est absurde.

Conclusion : la famille des {(f_\lambda)_{\lambda\in\mathbb{R}}} est une famille libre.

Exercice 4.
Montrer que la famille de fonctions {f_\lambda:x\mapsto \cos(\lambda x)} (avec {\lambda\in\mathbb{R}^+}) est libre.
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Il revient au même de prouver que toute sous-famille finie formée de {n} fonctions {f_{\lambda_k}} (où {\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n} sont distincts deux à deux dans {\mathbb{R}^+}) est libre.

On procède par récurrence sur {n\ge 1}.

C’est vrai si {n=1} car {f_\lambda} n’est pas la fonction nulle.

Soit {n\in\mathbb{N}^*}. On suppose que la propriété est vraie au rang n.

On se donne donc {\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\lambda_{n+1}} distincts deux à deux dans {\mathbb{R}^+}.

Soient {\alpha_1,\ldots,\alpha_{n+1}} tels que {\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k f_{\lambda_k}=0}.

On dérive deux fois et on obtient {\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\lambda_k^2 \alpha_k f_{\lambda_k}=0}.

Par combinaison des deux égalités on trouve :
{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\mu_k\alpha_k f_{\lambda_k}=0\text{\ avec\ }\mu_k=\lambda_k^2-\lambda_{n+1}^2}On en déduit {\mu_1\alpha_1=\cdots=\mu_n\alpha_n=0} en utilisant l’hypothèse de récurrence.

Mais {\mu_1,\ldots,\mu_n} sont non nuls. Donc {\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0}.

L’égalité {\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k f_{\lambda_k}=0} donne alors {\alpha_{n+1}=0}.

On a ainsi démontré la propriété au rang {n+1}, ce qui achève la récurrence.

Conclusion : la famille {(f_\lambda)_{\lambda\ge0}} est libre.

Exercice 5.
Soient {a,b,c} trois réels quelconques.
On définit {f_a:x\mapsto\sin(x+a)}, {f_b:x\mapsto\sin(x+b)} et {f_c:x\mapsto\sin(x+c)}.
Montrer que ces trois fonctions sont liées.
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Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, {f_a(x)=\cos a\sin x+\sin a\cos x}.

Ainsi {f_a} est combinaison linéaire de {x\mapsto\sin x} et de {x\mapsto\cos x}.

De même, {f_b} et {f_c} sont dans le plan engendré par {x\mapsto\sin x} et {x\mapsto\cos x}.

Les trois applications {f_a,f_b,f_c} étant dans un même plan, elles forment une famille liée.