Espaces et sous-espaces vectoriels

Exercice 1.
Soit {E} l’espace vectoriel des les fonctions {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}}.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de {E} ?

  1. {A=\{f\in E,2f(0)=f(1)\}}.
  2. {B=\{f\in E,f(1)=f(0)+1\}}.
  3. {C=\{f\in E,f\ge0\}}.
  4. {D=\{f\in E,f(x)\equiv f(1-x)\}}.
  5. {F=\{f\in E,f\;\text{polynomiale de degré}\;4\}}.
  6. {G=\{f\in E,f\;\text{polynomiale de degré}\;\le4\}}.

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  1. {A} est un sous-espace vectoriel de {E}. D’une part, il contient la fonction nulle.

    D’autre part, soient {f,g} dans {A}, et {\alpha,\beta} deux réels.

    Soit {h=\alpha f+\beta g}. Alors : {\begin{array}{rl}2h(0)&=2(\alpha f+\beta g)(0)=2\alpha f(0)+2\beta g(0)\\\\&=\alpha f(1)+\beta g(1)=h(1)\end{array}}Ainsi {h} est dans {A}, qui est donc stable par combinaisons linéaires.

    Remarque : {A} est le noyau de la forme linéaire {f\mapsto \varphi(f)=2f(0)-f(1)}.

  2. {B} n’est pas un sous-espace vectoriel de {E} car il ne contient pas la fonction nulle.

  3. La fonction constante {f} définie par {f(x)\equiv 1} est dans {C}, mais {-f} n’appartient pas à {C}.

    Ainsi {C} n’est donc pas un sous-espace vectoriel de {E}

  4. La fonction nulle est dans {D}.

    Soient {f,g} dans {D}, et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{R}}.

    Soit {h=\alpha f+\beta g}. Pour tout {x} de {[0,1]} :{h(1-x)=\alpha f(1-x)+\beta g(1-x)=\alpha f(x)+\beta g(x)= h(x)}Ainsi {h} est dans {D}, qui est donc un sous-espace vectoriel de {E}.

  5. La fonction nulle n’est pas polynomiale de degré {4}

    Donc {F} n’est pas un sous-espace vectoriel de {E}.

  6. La réponse est oui. On peut dire par exemple que {G} est le sous-espace vectoriel de {E} engendré par les applications {x\mapsto 1}, {x\mapsto x}, {x\mapsto x^2}, {x\mapsto x^3} et {x\mapsto x^4}.

Exercice 2.
Soient {F} et {G} deux sous-espaces vectoriels de {E}. Montrer que {F\cup G} est un sous-espace vectoriel de {E} si et seulement si {F\subset G} ou {G\subset F}.
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Il est clair que si {F\subset G} ou {G\subset F}, alors {F\cup G} est un sous-espace vectoriel de {E}.

Pour montrer la réciproque, on suppose que {F\cup G} est un sous-espace vectoriel de {E} et par exemple que {F} n’est pas inclus dans {G}.

Alors il faut prouver que {G} est inclus dans {F}.

On se donne un élément {g} de {G}. Il s’agit de prouver que {g} est dans {F}.

Par hypothèse, il existe un élément {f} de {F} qui n’est pas dans {G}.

Puisque {f} et {g} sont tout deux dans {F\cup G}, il en est de même de {h=f+g} (car {F\cup G} est stable par combinaison linéaire).

Mais il est impossible que {h} soit dans {G} (sinon {f=h-g} serait lui aussi dans {G}).

On en déduit que {h} est dans {F}.

Donc {g=h-f} est dans {F}, ce qu’il fallait prouver.

Conclusion : si {F\cup G} est un sous-espace vectoriel de {E}, alors {F\subset G} ou {G\subset F}.

Exercice 3.
{A,B,C} sont des sous-espaces vectoriels de {E} tels que : {A\cap C\subset B,\;C\subset A+B\;\text{\ et\ }B\subset C}Montrer que {B=C}.
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Il suffit bien sûr de prouver {C\subset B}. Soit {c} un élément de {C}.

Puisque {C\subset A+B}, il existe {a} dans {A} et {b} dans {B} tels que {c=a+b}.

Puisque {B\subset C}, les vecteurs {b} et {c} sont tous les deux dans {C}.

Il en est donc de même de {a=c-b}. Ainsi {a} est dans {A\cap C} donc dans {B}.

Finalement {a} et {b} sont tous deux dans {B}.

Il en est donc de même de {c=a+b}.

On a ainsi prouvé l’inclusion {C\subset B}, donc l’égalité {C=B}.