Espaces de dimension finie

Exercice 1.
Dans {\mathbb{R}^4}, soit {E} l’ensemble des {u=(x,y,z,t)} tels que {\begin{cases}x+3y-2z-5t=0\\ x+2y+z-t=0\end{cases}}
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de {\mathbb{R}^4}.
En donner la dimension et une base.
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Exercice 2.
Dans {\mathbb{R}^4}, donner la dimension du sous-espace engendré par : {\begin{cases}a=(1,2,2,1)\\b=(4,3,10,5)\\c=(-1,-3,4,0)\\d=(0,4,-3,-1)\end{cases}}
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Exercice 3.
On définit les trois sous-espaces suivants de {E=\mathbb{K}_3[X]} : {\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}

  • Montrer que {F\oplus G=\{P\in E,P(1)=P(2)= 0\}}.
  • Montrer que {E=F\oplus G\oplus H}.

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Exercice 4.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie {n}.
Soient {F} et {G} deux sous-espaces de {E}, tels que {\dim(F)=\dim(G)=r}.
Montrer qu’il existe un sous-espace {H} de {E} tel que {E=F\oplus H=G\oplus H}.
Indication: utiliser une récurrence descendante sur l’entier {r}.
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Exercice 5.
On se donne une subdivision {x_0=a\lt x_1\lt \ldots x_{n-1}\lt x_n=b} de {[a,b]}.
Soit {F} l’ensemble des {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}} qui sont affines sur chaque {[x_k,x_{k+1}]}.
Montrer que {F} est un espace vectoriel. En donner la dimension et une base.
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