Espaces de dimension finie

Exercice 1.
Dans {\mathbb{R}^4}, soit {E} l’ensemble des {u=(x,y,z,t)} tels que {\begin{cases}x+3y-2z-5t=0\\ x+2y+z-t=0\end{cases}}
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de {\mathbb{R}^4}.
En donner la dimension et une base.
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Soit {u=(x,y,z,t)} dans {\mathbb{R}^4}. On a les équivalences :
{\begin{array}{l}\begin{cases}x+3y-2z-5t=0\\ x+2y+z-t=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x+3y=2z+5t\\ x+2y=-z+t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-7z-7t\\y=3z+4t\end{cases}\\\\\Leftrightarrow (x,y,z,t)=(-7z-7t,3z+4t,z,t)\\\\\qquad=z(-7,3,1,0)+t(-7,4,0,1),\text{\ avec\ }(z,t)\in\mathbb{R}^2\end{array}}Ainsi {E} est l’ensemble des combinaisons linéaires de {\begin{cases}a=(-7,3,1,0)\\b=(-7,4,0,1)\end{cases}}

La famille libre {a,b} constitue donc une base de {E}, et {\dim E=2}.

Exercice 2.
Dans {\mathbb{R}^4}, donner la dimension du sous-espace engendré par : {\begin{cases}a=(1,2,2,1)\\b=(4,3,10,5)\\c=(-1,-3,4,0)\\d=(0,4,-3,-1)\end{cases}}
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Le système {\alpha a+\beta b+\gamma c+\delta d=0} équivaut à :
{\begin{array}{l}\begin{cases}\alpha+4\beta-\gamma=0\\\alpha+3\beta-3\gamma+4\delta=0\\2\alpha+10\beta+4\gamma-3\delta=0\\ \alpha+5\beta-\delta=0\end{cases}\\\\\qquad\Leftrightarrow\begin{cases}\alpha=-4\beta+\gamma\\ 5\beta+\gamma-4\delta=0\\2\beta+6\gamma-3\delta=0\\ \beta+\gamma-\delta=0\end{cases}\\\\\qquad\Leftrightarrow\begin{cases}\alpha=-4\beta+\gamma\\ \beta-3\gamma=0\\ \beta-3\gamma=0\\\delta=\beta+\gamma\end{cases}\\\\\qquad\Leftrightarrow\begin{cases}\alpha=-11\gamma\\\beta=3\gamma\\\delta=4\gamma\end{cases}\end{array}}
La famille {a,b,c,d} est liée (car de rang inférieur ou égal à {3}).

Avec {\gamma=0}, on trouve {\alpha=\beta=\delta=0}.

La famille libre {a,b,d} est donc une base de {\text{Vect}(a,b,c,d)} (qui est de dimension {3}).

Exercice 3.
On définit les trois sous-espaces suivants de {E=\mathbb{K}_3[X]} : {\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}

  • Montrer que {F\oplus G=\{P\in E,P(1)=P(2)= 0\}}.
  • Montrer que {E=F\oplus G\oplus H}.

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  • Si {P\in F\cap G}, il s’annule en les quatre points distincts {0,1,2,3}, alors qu’il est de degré inférieur ou égal à {3}: il est donc nul. Ainsi {F} et {G} sont en somme directe.

    Si on note {K=\{P\in E,P(1)=P(2)= 0\}}, on a bien sûr {F\subset K} et {G\subset K}.

    On en déduit {F\oplus G\subset K}.

    {F=\{P=\alpha X(X-1)(X-2)\}}, avec {\alpha\in\mathbb{K}} : {\dim F=1}.

    {G=\{P=\beta(X-1)(X-2)(X-3)\}}, avec {\beta\in\mathbb{K}} : {\dim G=1}.

    {K=\{P=(aX+b)(X-1)(X-2)\}}, avec {(a,b)\in\mathbb{K}^2} : {\dim K=2}.

    Donc {\dim(F\oplus G)=\dim F+\dim G=\dim K}, avec {F\oplus G\subset K}.

    On en déduit {F\oplus G=K}.

  • {H=\{P=a+bX^2\}}, avec {(a,b)\in\mathbb{R}^2}: c’est un plan.

    Si {P\in(F\oplus G)\cap H}, alors {\begin{cases}P(1)=a+b=0\\P(2)=a+4b=0\end{cases}} donc {a=b=0}.

    Ainsi {H} et {F\oplus G} sont en somme directe.

    Or {\dim(F\oplus G\oplus H)=\dim(F\oplus G)+\dim H=2+2=4=\dim E}.

    Ainsi {F\oplus G\oplus H=E}.

Exercice 4.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie {n}.
Soient {F} et {G} deux sous-espaces de {E}, tels que {\dim(F)=\dim(G)=r}.
Montrer qu’il existe un sous-espace {H} de {E} tel que {E=F\oplus H=G\oplus H}.
Indication: utiliser une récurrence descendante sur l’entier {r}.
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Si {r=n}, le résultat est évident en prenant {H=\{0\}}.

Supposons donc {r\lt n} et la propriété démontrée pour les sous-espaces de dimension {r+1} de {E}.

Rappelons que la réunion de deux sous-espaces {A} et {B} de {E} n’est un sous-espace de {E} que si {A\subset B} ou {B\subset A}.

Cette réunion ne peut donc être égale à {E} que si {A=B=E}, ce qui n’est visiblement pas le cas ici pour les sous-espaces {F} et {G}.

On peut donc choisir un vecteur {x} (nécessairement non nul) n’appartenant pas à {F\cup G}.

Les sous-espaces {F'=F\oplus\mathbb{K} x} et {G'=G\oplus\mathbb{K} x} sont de dimension {r+1}.

Ils ont donc un supplémentaire commun {H'} dans {E}.

Ainsi {E=F\oplus\mathbb{K} x\oplus H'=G\oplus\mathbb{K} x\oplus H'}.

Cela prouve que {H=\mathbb{K} x\oplus H'} est un supplémentaire commun à {F} et à {G}.

On a ainsi démontré la propriété par une récurrence descendante sur l’entier {r}.

Exercice 5.
On se donne une subdivision {x_0=a\lt x_1\lt \ldots x_{n-1}\lt x_n=b} de {[a,b]}.
Soit {F} l’ensemble des {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}} qui sont affines sur chaque {[x_k,x_{k+1}]}.
Montrer que {F} est un espace vectoriel. En donner la dimension et une base.
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L’ensemble {F} est de façon évidente un sous-espace vectoriel de l’ensemble {E} de toutes les fonctions de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}: la fonction nulle est un élément de {F}, et si {f,g} sont affines sur chaque {[x_k,x_{k+1}]} il en est de même de {\lambda f+\mu g}.

Considérons l’application {\varphi} de {E} dans {\mathbb{R}^{n+1}} définie par {\varphi(f)=\bigl(f(x_0),f(x_1),\ldots,f(x_n)\bigr)}.

Il est clair que {\varphi} est linéaire.

D’autre part \varphiest bijective car le fait de se donner les images {\bigl(f(x_0),f(x_1),\ldots,f(x_n)\bigr)} définit une unique application {f} affine sur chaque sous-segment {[x_k,x_{k+1}]} de {[a,b]}.

L’application {\varphi} est donc un isomorphisme de {F} sur {\mathbb{R}^{n+1}} ce qui prouve que {\dim F=n+1}.

Les images réciproques des vecteurs de la base canonique de {\mathbb{R}^{n+1}} forment donc une base de {F}.

Ce sont les fonctions {f_0,f_1,\ldots,f_n} définies par les égalités {f_i(x_j)=\delta_{ij}}.

Autrement dit chaque fonction {f_i} vaut {1} en {x_i} et {0} sur les autres {x_j}, et on la complète de façon affine sur chaque intervalle {[x_k,x_{k+1}]}.

Pour être complet, disons que la base duale de la base {(f_0,f_1,\ldots,f_n)} de {F} est constituée des formes linéaires {f_j^*} définies sur {F} par {f_j^*(f)=f(x_j)}.

Chaque élément {f} de {F} se décompose en: {f=f(x_0)f_0+f(x_1)f_1+\cdots+f(x_n)f_n}.