Décompositions en élts simples (2/2)

Exercice 1.
Décomposer {R=\dfrac x{(x^2+1)(x^2-j^2)^2}} en élément simples dans {\mathbb{C}(X)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
La décomposition de {R} dans {\mathbb{C}(X)} s’écrit : {\begin{array}{rl}R(x)&=\dfrac x{(x^2+1)(x^2-j^2)^2}\\\\&=\dfrac{a}{x-i}+\dfrac{b}{x+i}+\dfrac{c}{(x-j)^2}+\dfrac{d}{x-j}+\dfrac{e}{(x+j)^2}+\dfrac{f}{x+j}\end{array}}On note que la fraction {R} est impaire.

Les décompositions de {R(x)} et de {-R(-x)} doivent coïncider. Or : {-R(-x)=\dfrac{a}{x+i}+\dfrac{b}{x-i}-\dfrac{c}{(x+j)^2}+\dfrac{d}{x+j}-\dfrac{e}{(x-j)^2}+\dfrac{f}{x-j}}L’identification (unicité de la décomposition) donne alors : {\begin{cases}b=a\cr e=-c\cr f=d\end{cases}}.

Pour obtenir {a}, on multiplie {R} par {x-i} et on pose {x=i}.

On trouve d’abord {(x-i)R(x)=\dfrac{x}{(x+i)(x^2-j^2)^2}}.

On en déduit {a=\dfrac{i}{2i(-1-j^2)^2}=\dfrac{1}{2j^2}=\dfrac{j}{2}}.

Pour obtenir {c}, on multiplie {R} par {(x-j)^2} et on pose {x=j}.

On trouve {(x-j)^2R(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)(x+j)^2}}.

On en déduit : {c=\dfrac{j}{4(j^2+1)j^2}=-\dfrac{j}{4}}.

Pour obtenir {d}, on peut écrire : {R(x)=\dfrac{2ax}{x^2+1}+\dfrac{c}{(x-j)^2}+\dfrac{2dx}{x^2-j^2}-\dfrac{c}{(x+j)^2}}

On multiplie par {x} et on fait tendre {x} vers {\infty}.

On trouve {0=2(a+d)} donc {d=-a=-\dfrac{j}{2}}.

La décomposition de {R} en élément simples dans {\mathbb{C}(X)} est donc : {\begin{array}{rl}R(x)&=\dfrac{j}{2(x-i)}+\dfrac{j}{2(x+i)}\\\\&-\dfrac{j}{4(x-j)^2}-\dfrac{j}{2(x-j)}+\dfrac{j}{4(x+j)^2}-\dfrac{j}{2(x+j)}\end{array}}

Exercice 2.
On pose {R=\dfrac{6}{(x+1)(x^2+x+1)(x^2+x+2)(x^2+x+3)}}.
Décomposer {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
La décomposition est de la forme :{R=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2+x+1}+\dfrac{dx+e}{x^2+x+2}+\dfrac{fx+g}{x^2+x+3}}On trouve tout d’abord : {\begin{array}{rl}a&=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}(x+1)R(x)\\\\&=\left.\dfrac{6}{(x^2+x+1)(x^2+x+2)(x^2+x+3)}\right|_{x=-1}=1\end{array}}De même, on trouve : {\begin{array}{rl}bj+c&=\left.\dfrac{6}{(x+1)(x^2+x+2)(x^2+x+3)}\right|_{x=j}\\\\&=\dfrac{3}{(j+1)}=-3j\text{\ donc\ }\begin{cases}b=-3\\ c=0\end{cases}\end{array}}Soit {\omega} une racine de {x^2+x+2} (inutile de l’expliciter).

On va utiliser {\omega^2+\omega=-2}. On a :{\begin{array}{rl}d\omega+e&=\left.\dfrac{6}{(x+1)(x^2+x+1)(x^2+x+3)}\right|_{x=\omega}\\\\&=\dfrac{-6}{(\omega+1)}=3\omega\text{\ donc\ }\begin{cases}d=3\\ e=0\end{cases}\end{array}}De même, soit {\alpha} une racine de {x^2+x+3}.

On va utiliser {\alpha^2+\alpha=-3}. On a : {\begin{array}{rl}f\alpha+g&=\left.\dfrac{6}{(x+1)(x^2+x+1)(x^2+x+2)}\right|_{x=\alpha}\\\\&=\dfrac{3}{(\alpha+1)}=-\alpha\text{\ donc\ }\begin{cases}f=-1\\ g=0\end{cases}\end{array}}La décomposition de {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)} est donc : {R=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{3x}{x^2+x+1}+\dfrac{3x}{x^2+x+2}-\dfrac{x}{x^2+x+3}}

Exercice 3.
Décomposer {R=\dfrac{1}{x^8+x^4+1}} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On factorise le dénominateur. D’abord : {\begin{array}{rl}x^8+x^4+1&=(x^4+1)^2-x^4\\\\&=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)\end{array}}De même: x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1). Enfin :
{\begin{array}{rl}x^4-x^2+1&=(x^2+1)^2-3x^2\\\\&=(x^2+x\sqrt3+1)(x^2-x\sqrt3+1)\end{array}}Ainsi la décomposition de{R} s’écrit : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{ax+b}{x^2+x+1}+\dfrac{cx+d}{x^2-x+1}\\\\&\qquad+\dfrac{ex+f}{x^2+x\sqrt3+1}+\dfrac{gx+h}{x^2-x\sqrt3+1}\end{array}}La parité de {R} donne les relations {c=-a,d=b,g=-e,h=f}.

On peut donc écrire : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{ax+b}{x^2+x+1}-\dfrac{ax-b}{x^2-x+1}\\\\&\qquad+\dfrac{ex+f}{x^2+x\sqrt3+1}-\dfrac{ex-f}{x^2-x\sqrt3+1}\\\\&=2\dfrac{(b-a)x^2+b}{x^4+x^2+1}+2\dfrac{(f-e\sqrt3)x^2+f}{x^4-x^2+1}\end{array}}Or {R(ix)=R(x)}. On en déduit {\begin{cases}f=b\\ f-e\sqrt3=a-b\end{cases}}.

Ainsi {f=b} et {e=\dfrac{\sqrt3}{3}(2b-a)}.

Pour trouver {a,b} on multiplie {R} par {x^2+x+1} et on pose {x=j}.

On trouve alors : {\begin{array}{rl}aj+b&=\dfrac{1}{(j^2-j+1)(j^4-j^2+1)}\\\\&=\dfrac{1}{(-2j)(-2j^2)}=\dfrac14\end{array}}

Donc {a=0} et {b=\dfrac14}.

La décomposition de {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)} est donc : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{1}{4(x^2+x+1)}+\dfrac{1}{4(x^2-x+1)}\\\\&\quad+\dfrac{2x\sqrt3+3}{12(x^2+x\sqrt3+1)}-\dfrac{2x\sqrt3-3}{12(x^2-x\sqrt3+1)}\end{array}}

Exercice 4.
On pose {R=\dfrac{1}{x^5(1-x)^5(x^2-x+1)}}.
Décomposer {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On a : {R(x)=\dfrac{1}{x^5(1-x)^5\bigl(1-x(1-x)\bigr)}=R(1-x)}.

La décomposition de {R} doit également faire apparaître cette invariance.

Cette décomposition est donc de la forme : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{a}{x^5}+\dfrac{b}{x^4}+\dfrac{c}{x^3}+\dfrac{d}{x^2}+\dfrac{e}{x}\\\\&\quad+\dfrac{a}{(1-x)^5}+\dfrac{b}{(1-x)^4}+\dfrac{c}{(1-x)^3}+\dfrac{d}{(1-x)^2}+\dfrac{e}{1-x}\\\\&\quad+\dfrac{\alpha x+\beta}{x^2-x+1}\end{array}}La même invariance implique {\alpha(1-x)+\beta=\alpha x+\beta} donc {\alpha=0}.
La décomposition de {R} implique : {x^5R(x)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+\text{o}(x^4)}On effectue donc un développement de {x^5R(x)} en {0} à l’ordre {4} : {\begin{array}{rl}x^5R(x)&=\dfrac{1}{(1-x)^5(1-x+x^2)}=(1-x)^{-5}(1+x)\,\dfrac1{1+x^3}\\\\&=\bigl(1+5x+15x^2+35x^3+70x^4+\text{o}(x^4)\bigr)(1+x)\bigl(1-x^3+\text{o}(x^4)\bigr)\\\\&=\bigl(1+5x+15x^2+35x^3+70x^4+\text{o}(x^4)\bigr)\bigl(1+x-x^3-x^4+\text{o}(x^4)\bigr)\\\\&=1+6x+20x^2+49x^3+99x^4+\text{o}(x^4)\end{array}}Pour trouver {\beta}, on multiplie {R} par {x^2-x+1} et on pose {x=-j}.

On trouve {\beta=\dfrac{-1}{j^5(1+j)^5}=1}.

La décomposition de {R} est donc : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{1}{x^5}+\dfrac{6}{x^4}+\dfrac{20}{x^3}+\dfrac{49}{x^2}+\dfrac{99}{x}\\\\&\qquad+\dfrac{1}{(1-x)^5}+\dfrac{6}{(1-x)^4}+\dfrac{20}{(1-x)^3}+\dfrac{49}{(1-x)^2}+\dfrac{99}{1-x}\\\\&\qquad+\dfrac{1}{x^2-x+1}\end{array}}

Exercice 5.
On pose {R=\dfrac{x^3-x+2}{(x^2+1)^4(x^2+x+1)x}}.
Décomposer {R} en élément simples dans {\mathbb{R}(X)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On peut écrire {R=\dfrac{a}{x}+\dfrac{bx+c}{x^2+x+1}+\dfrac{P(x)}{(x^2+1)^4}}.

On trouve d’abord {a=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}xR(x)=2}.

Ensuite : {bj+c=\dfrac{j^3-j+2}{(j^2+1)^4j}=4j+1} donc {\begin{cases}b=4\\ c=1\end{cases}}

Ainsi {R=\dfrac{2}{x}+\dfrac{4x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{P(x)}{(x^2+1)^4}}. On en déduit : {\begin{array}{rl}\dfrac{P(x)}{(x^2+1)^4}&=\dfrac{x^3-x+2}{(x^2+1)^4(x^2+x+1)x}-\dfrac{2}{x}-\dfrac{4x+1}{x^2+x+1}\\\\&=\dfrac{-6x^7+3x^6-23x^5+8x^4-29x^3+3x^2-10x-4}{(x^2+1)^4}\end{array}}On termine par des divisions successives par {x^2+1}.

Après calculs, on trouve la décomposition de R : {\begin{array}{rl}R&=\dfrac{2}{x}+\dfrac{4x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{2(x-1)}{(x^2+1)^4}\\\\&\quad-\dfrac{x+4}{(x^2+1)^3}-\dfrac{5x+1}{(x^2+1)^2}-\dfrac{3(2x-1)}{x^2+1}\end{array}}